Calculadora de expoentes
Calcule qualquer potência bⁿ, inclusive com expoentes negativos, decimais e fracionários. Obtenha o resultado exato, até 100 algarismos significativos e os passos, ou ache a base ou o expoente.
Propriedades das potências
| Propriedade | Fórmula | Exemplo |
|---|---|---|
| Produto de mesma base | bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Quociente de mesma base | bᵐ / bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25 |
| Potência de potência | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Potência de um produto | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1000 |
| Potência de uma fração | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
| Expoente zero | b⁰ = 1 (b ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| Expoente negativo | b⁻ⁿ = 1/bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Expoente fracionário | bp/q = q√(bᵖ) | 82/3 = ∛(8²) = 4 |
Em bⁿ, a base b é multiplicada por ela mesma n vezes: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. As propriedades acima estendem isso para n = 0, n negativo e frações, de modo que bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ continua valendo para qualquer expoente. Para expoentes irracionais como 2^√2, define-se bⁿ = e^(n · ln b).
Primeiro, −3² = −9, mas (−3)² = 9: o expoente vem antes do sinal de menos e, sem parênteses, vale só para o 3. Segundo, uma torre de potências é lida de cima para baixo: 2^3^2 = 2^(3²) = 2⁹ = 512, e não (2³)² = 64.
(−8)^(1/3) = −2 porque (−2)³ = −8: raízes ímpares de números negativos são reais. Raízes pares não são: (−4)^(1/2) não tem valor real. Simplifique sempre a fração primeiro, porque (−8)^(2/6) e (−8)^(1/3) são o mesmo número, −2, mesmo com 6 sendo par.
Aviso legal: Esta calculadora realiza operações matemáticas padrão apenas para uso geral e educacional. Ela não substitui uma revisão profissional — para cálculos em que a precisão é fundamental, como declarações financeiras, trabalhos de engenharia ou entregas acadêmicas, verifique o resultado de forma independente.
Perguntas frequentes
Sobre esta calculadora
Esta calculadora de expoentes resolve bⁿ = x para qualquer uma das três partes. No modo Potência, ela eleva uma base b a um expoente n. Os outros dois modos acham a base (uma raiz de índice n) ou o expoente (um logaritmo). A base e o expoente podem ser inteiros, decimais, frações ou números negativos. Você obtém o resultado exato quando ele existe, como 2¹⁰⁰ por inteiro, 8^(2/3) = 4 ou 12^(3/2) = 24√3, um valor decimal com até 100 algarismos significativos e os passos.
O que significa um expoente
Para um número inteiro n, bⁿ é o produto de n fatores b: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. O número b é a base e n é o expoente, ou potência. Todos os outros casos vêm de uma única regra, bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ. Se essa regra deve valer para n = 0, então b⁰ = 1. Para um expoente negativo, ela dá b⁻ⁿ = 1/bⁿ. Para frações, (b^(1/q))^q = b, então b^(1/q) é a raiz de índice q de b, e b^(p/q) é a raiz de índice q de bᵖ. Para um expoente irracional como π, define-se bⁿ = e^(n · ln b) quando b > 0.
Como a calculadora funciona
Expoentes inteiros. Resultados com até 20.000 algarismos são calculados de forma exata com aritmética inteira, então 2¹⁰⁰ = 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376 aparece por inteiro. A calculadora usa quadrados sucessivos: como 100 = 64 + 32 + 4, 2¹⁰⁰ = 2⁶⁴ × 2³² × 2⁴, o que exige só 8 multiplicações em vez de 99. Resultados maiores, como 2^1.000.000, aparecem em notação científica, com o número de algarismos e os 20 últimos algarismos exatos, obtidos calculando módulo 10²⁰.
Expoentes fracionários e decimais. Um expoente decimal é escrito primeiro como fração irredutível, então 1,5 = 3/2. Depois, b^(p/q) é a raiz de índice q de bᵖ, e a calculadora simplifica a raiz tirando as potências exatas de grau q: 12^(3/2) = √1728 = 24√3, porque 1728 = 24² × 3. O valor decimal vem de e^(n · ln b). O logaritmo e a exponencial são calculados com algarismos de guarda além da precisão escolhida, e o último algarismo mostrado é arredondado.
Bases negativas. (−2)⁴ = 16 e (−2)³ = −8: um expoente par tira o sinal de menos e um ímpar o mantém. Para expoentes fracionários, a calculadora segue a convenção da raiz real dos livros de álgebra. Se a fração irredutível tem denominador ímpar, a raiz é real: (−8)^(1/3) = −2 e (−8)^(2/3) = 4. Se o denominador é par, não há resultado real, e a calculadora dá o valor complexo principal: (−4)^(1/2) = 2i.
Achar a base ou o expoente. Para resolver bⁿ = x em b, elevam-se os dois lados a 1/n: b = x^(1/n). Um expoente par dá duas soluções reais, como b = ±3 para b⁴ = 81. Para achar n, aplica-se logaritmo: n = ln x / ln b. Quando n é uma fração, a calculadora a encontra de forma exata e a confirma com aritmética inteira. Por exemplo, log₈ 4 = 2/3 porque 8^(2/3) = 4. Caso contrário, ela dá n com o número de algarismos significativos escolhido, por exemplo log₂ 10 ≈ 3,32192809488736.
Exemplos resolvidos
- 2¹⁰ = 1.024: dez fatores 2. Por isso um kibibyte tem 1.024 bytes.
- 5⁻³ = 1/125 = 0,008: um expoente negativo dá o inverso.
- 27^(2/3) = 9: a raiz cúbica de 27 é 3, e 3² = 9.
- 2^0,5 = √2 ≈ 1,41421356237310: um expoente 1/2 é uma raiz quadrada.
- 1,05¹⁰ ≈ 1,62889462677744: um dinheiro que cresce 5% ao ano durante 10 anos cresce cerca de 62,9% no total.
- b³ = −125 dá b = −5, e 2ⁿ = 1.000.000 dá n ≈ 19,9315685693242.
Onde os expoentes são usados
- Juros compostos: um valor P a uma taxa anual r vira P(1 + r)ᵗ depois de t anos.
- Notação científica: números muito grandes e muito pequenos são escritos com potências de 10, como 6,022 × 10²³ para o número de Avogadro.
- Computação: n bits guardam 2ⁿ valores diferentes, então 32 bits dão 2³² = 4.294.967.296.
- Crescimento e decaimento: uma população que dobra a cada período cresce como 2ᵗ, e uma amostra radioativa mantém (1/2)^(t/h) da sua massa depois de um tempo t, em que h é a meia-vida.
Para raízes sozinhas, a Calculadora de raiz quadrada e a Calculadora de raízes desta categoria dão mais detalhes sobre como simplificar radicais.
- Resolver qualquer parte — Resolve bⁿ = x para a potência, a base ou o expoente.
- Resultados exatos — Mostra por inteiro resultados inteiros de até 20.000 algarismos, frações como 1/125 e raízes simplificadas como 24√3.
- Até 100 algarismos significativos — Calcula valores decimais com aritmética inteira de alta precisão, então até 1,0001¹⁰⁰⁰⁰ fica correto em cada algarismo mostrado.
- Bases negativas e expoentes fracionários — Usa a raiz real para denominadores ímpares, como (−8)^(1/3) = −2, e dá o valor complexo principal quando não existe resultado real.
- Passo a passo — Mostra as propriedades das potências usadas, dos quadrados sucessivos até escrever 1,5 como 3/2.