Calculadora de sistemas de equações
Resolva sistemas de equações passo a passo por adição ou substituição. Sistemas lineares com até 6 incógnitas e sistemas não lineares com x², y² e xy, com soluções exatas, verificação e gráfico.
Como se resolvem sistemas de equações
Multiplicam-se duas equações por números escolhidos para que uma incógnita tenha coeficientes opostos (ou iguais), e depois somam-se (ou subtraem-se). Essa incógnita desaparece. Repete-se até restar uma equação com uma incógnita, resolve-se e substitui-se de volta. Para 5x + 3y = 7 e 3x − 5y = −23, 3·(1) − 5·(2) dá 34y = 136, logo y = 4, e depois 3x − 20 = −23 dá x = −1.
Isola-se uma incógnita numa equação e substitui-se o resultado nas outras. É o método natural para sistemas não lineares quando uma equação é linear: de x + y = 7 vem y = 7 − x, e x² + y² = 25 fica x² + (7 − x)² = 25, uma equação do 2.º grau com raízes x = 3 e x = 4.
Um sistema linear tem exatamente uma solução, nenhuma ou infinitas. Duas equações de graus m e n com duas incógnitas têm no máximo m·n soluções comuns, a menos que tenham um fator comum (teorema de Bézout). Assim, uma reta e uma circunferência cruzam-se no máximo duas vezes, e duas cónicas no máximo quatro. No gráfico, cada solução real é um ponto de interseção das curvas.
Aviso legal: Esta calculadora realiza operações matemáticas padrão apenas para uso geral e educacional. Ela não substitui uma revisão profissional — para cálculos em que a precisão é fundamental, como declarações financeiras, trabalhos de engenharia ou entregas acadêmicas, verifique o resultado de forma independente.
Perguntas frequentes
Sobre esta calculadora
Esta calculadora de sistemas de equações encontra os valores das incógnitas que tornam várias equações verdadeiras ao mesmo tempo. Resolve sistemas lineares com até 6 equações e 6 incógnitas, e sistemas não lineares de 2 equações com 2 incógnitas que têm quadrados e produtos como x², y² e xy. Escreva as equações uma por linha ou separadas por vírgulas, e escolha adição ou substituição. Obtém as soluções exatas, cada passo, uma verificação e um gráfico das curvas com os pontos de interseção marcados.
O que é um sistema de equações?
Um sistema de equações são duas ou mais equações que partilham incógnitas e têm de ser todas verdadeiras ao mesmo tempo. Uma solução é um conjunto de valores, um para cada incógnita, que satisfaz cada equação. Com duas incógnitas, cada equação é uma reta ou uma curva no plano, e as soluções são exatamente os pontos onde todas as curvas se encontram. Por exemplo, x + y = 10 e x − y = 2 cruzam-se em (6, 4).
Método da adição
- Multiplicar as equações por números inteiros adequados para que uma incógnita tenha o mesmo coeficiente em duas delas.
- Subtrair (ou somar) as equações para eliminar essa incógnita.
- Repetir até restar uma equação com uma incógnita, e resolvê-la.
- Substituir o valor de volta para encontrar as outras incógnitas.
Exemplo: 5x + 3y = 7 e 3x − 5y = −23. Multiplica-se a primeira equação por 3 e a segunda por 5, e depois subtrai-se: 34y = 136, logo y = 4. Depois 3x − 5·4 = −23 dá x = −1. A calculadora mantém cada nova equação com números inteiros e numera-a, para que veja que equações foram combinadas.
Método da substituição
Isola-se uma incógnita numa equação e substitui-se essa expressão nas outras equações. Cada substituição elimina uma incógnita. Para x + 2y = 2x − 5 e x − y = 3, a segunda equação dá x = y + 3. Substituindo na primeira, obtém-se (y + 3) + 2y = 2(y + 3) − 5, logo y = −2 e x = 1.
Sistemas não lineares
Quando uma equação contém x², y², xy ou potências maiores, o sistema é não linear e pode ter várias soluções. A calculadora escolhe o mais simples de três caminhos e diz qual usou.
- Substituição: se uma equação é linear numa incógnita, como y = 2x − 1, isola-se essa incógnita e substitui-se na outra equação. y = x² − 4 e y = 2x − 1 dão x² − 2x − 3 = 0, logo x = 3 ou x = −1, e as soluções são (3, 5) e (−1, −3).
- Adição: se os termos com uma incógnita são iguais nas duas equações, subtrair ou somar elimina-a. Para x² + y² = 13 e x² − y² = 5, somar dá 2x² = 18, logo x = ±3 e y = ±2: quatro soluções.
- Resultante: nos outros casos, a resultante dos dois polinómios elimina uma incógnita e deixa uma equação polinomial na outra.
As soluções exatas mantêm-se sempre que possível. Para x² + y = 5 e x² + y² = 7, as soluções são x = ±√3, y = 2 e x = ±√6, y = −1. Se não houver soluções reais, como em x² + y² = 4 e x + y = 5 (a reta não toca a circunferência), a calculadora indica-o.
Quantas soluções pode haver?
Um sistema linear tem exatamente uma solução, nenhuma ou infinitas. Duas equações de graus m e n com duas incógnitas têm no máximo m × n soluções comuns, a menos que tenham um fator comum (teorema de Bézout). Assim, uma reta e uma parábola cruzam-se no máximo duas vezes, e duas circunferências ou outras cónicas no máximo quatro. Se uma equação é múltipla da outra, ou têm um fator comum, há infinitas soluções.
Onde se usam sistemas de equações
- Preços: 2 cafés e 3 queques custam 13, e 4 cafés e 1 queque custam 11. Então 2c + 3m = 13 e 4c + m = 11, o que dá c = 2 e m = 3.
- Geometria: um retângulo com perímetro 34 e área 60 tem lados com x + y = 17 e xy = 60, logo os lados medem 5 e 12.
- Ciência e engenharia: as correntes num circuito elétrico, as forças numa treliça e o acerto de equações químicas levam a sistemas de equações lineares.
- Interseções: os pontos comuns de uma reta e uma circunferência, ou de duas trajetórias curvas, são as soluções de um sistema não linear.
- Sistemas lineares e não lineares — Resolve sistemas lineares com até 6 equações e 6 incógnitas, e sistemas não lineares de 2 equações com 2 incógnitas com termos como x², y² e xy.
- Adição ou substituição — Escolhe o método. A adição combina equações com multiplicadores inteiros e numera cada nova equação. A substituição isola uma incógnita de cada vez.
- Soluções exatas — Os resultados aparecem como inteiros, frações ou raízes como √3, com o valor decimal ao lado.
- Todos os casos — Indica quando um sistema não tem solução, não tem solução real ou tem infinitas, e dá a solução geral em função das incógnitas livres.
- Gráfico e verificação — Desenha cada equação como reta ou curva com os pontos de interseção marcados, e substitui cada solução em cada equação.