Calculadora de raiz quadrada

Esta calculadora de raiz quadrada dá a raiz de qualquer número de duas formas: a forma exata simplificada, como √72 = 6√2, e um valor decimal com até 100 casas decimais. Também funciona com frações (√(8/3) = 2√6/3), decimais (√0,25 = 1/2) e números negativos (√−12 = 2i√3). Para cada resposta mostra os passos, as duas raízes quadradas, se o número é um quadrado perfeito, os quadrados perfeitos à volta e uma verificação elevando o resultado ao quadrado.

O que é uma raiz quadrada?

A raiz quadrada de um número x é o número que, multiplicado por ele mesmo, dá x. √49 = 7 porque 7 × 7 = 49. Todo número positivo tem duas raízes quadradas, uma positiva e uma negativa (7 e −7). O símbolo √ indica sempre a positiva, chamada raiz principal. Um quadrado perfeito é um número inteiro cuja raiz também é inteira, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 e 144.

Como a calculadora funciona

Forma simplificada. A calculadora decompõe o número em fatores primos e tira da raiz cada par de primos iguais. 72 = 2³ × 3², então os pares 2 × 2 e 3 × 3 saem como 2 e 3, e um 2 fica dentro: √72 = 2 × 3 × √2 = 6√2. Uma raiz está na forma mais simples quando nenhum quadrado (exceto 1) divide o número dentro da raiz.

Frações e decimais. Primeiro o decimal é escrito como fração (2,25 = 9/4). Depois, √(a/b) = √a / √b. Se o denominador não for um quadrado perfeito, a calculadora multiplica em cima e embaixo pela raiz dele, para não ficar raiz no denominador. Isso se chama racionalizar: √(8/3) = √8 / √3 = 2√2 / √3 = 2√6/3.

Números negativos. Nenhum número real elevado ao quadrado dá um número negativo, então um número negativo não tem raiz quadrada real. As raízes dele são números imaginários. A calculadora tira √−1 = i: √−12 = i × √12 = 2i√3, porque (2i√3)² = 4 × i² × 3 = −12.

Alta precisão. O valor decimal não é calculado com números de ponto flutuante comuns, que guardam só cerca de 16 dígitos. A calculadora encontra a raiz inteira de x × 10²ᵈ com aritmética inteira exata, então cada uma das até 100 casas decimais está certa, e a última é arredondada. Por exemplo, √2 = 1,4142135624 com 10 casas.

Exemplos

• √72: 72 = 2³ × 3², então √72 = 6√2 ≈ 8,485281374. Verificação: (6√2)² = 36 × 2 = 72. Fica entre 8 e 9, porque 64 < 72 < 81.
• √2025: 2025 = 3⁴ × 5², então √2025 = 3² × 5 = 45. É um quadrado perfeito.
• √(8/3): = 2√6/3 ≈ 1,632993. Verificação: (2√6/3)² = 4 × 6 / 9 = 8/3.
• √0,25: 0,25 = 1/4, então √0,25 = 1/2 = 0,5.
• √−12: = 2i√3 ≈ 3,464102i. As duas raízes quadradas são ±2i√3.

O método babilônico

Calculadoras e computadores encontram raízes quadradas com um método de cerca de 4000 anos. Começa-se com uma estimativa g, substitui-se pela média de g e x/g, e repete-se. Para √72, começando com g = 8, as estimativas seguintes são (8 + 72/8) / 2 = 8,5, depois 8,485294 e depois 8,4852813742. Após 4 passos, os cerca de 16 dígitos que um computador normalmente guarda estão certos. A calculadora mostra essa tabela para todo número que não é quadrado perfeito, para você ver como as estimativas se aproximam depressa.

Raízes quadradas no dia a dia

• Da área ao lado: uma sala quadrada de 50 m² tem lados de √50 = 5√2 ≈ 7,07 m.
• Diagonais: pelo teorema de Pitágoras, a diagonal de uma porta de 0,9 m de largura e 2,0 m de altura é √(0,9² + 2,0²) = √4,81 ≈ 2,19 m. Assim você sabe se uma mesa comprida passa inclinada.
• Queda de objetos: um objeto largado de 20 m leva t = √(2h/g) = √(2 × 20 / 9,81) ≈ 2,02 segundos para chegar ao chão.
• Estatística: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Uma variância de 16 dá um desvio padrão de √16 = 4.

Esta ferramenta é só para raízes quadradas. Para raízes cúbicas e outras raízes, como ∛27 ou a raiz quarta de 81, use a calculadora de raízes na categoria Matemática.