Calculadora de equações do 2.º grau
Resolva ax² + bx + c = 0 passo a passo. Raízes exatas e decimais, inclusive complexas, com discriminante, vértice, forma fatorada e gráfico.
Como resolver uma equação do 2.º grau
Uma equação do 2.º grau tem a forma ax² + bx + c = 0, com a diferente de 0. As soluções são x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). O ± dá duas respostas: uma com + e outra com −. Por exemplo, x² − 5x + 6 = 0 tem a = 1, b = −5, c = 6, então x = (5 ± √1) / 2, ou seja, x = 3 e x = 2.
A parte dentro da raiz, Δ = b² − 4ac, mostra antes do fim que tipo de raízes existem. Se Δ > 0, há duas raízes reais e a parábola corta o eixo x duas vezes. Se Δ = 0, há uma raiz dupla e a parábola toca o eixo x no vértice. Se Δ < 0, não há raízes reais; as raízes são números complexos e a parábola nunca toca o eixo x.
O gráfico de y = ax² + bx + c é uma parábola. O vértice fica em x = −b / (2a), e o valor de y nesse ponto é c − b² / (4a). A mesma equação pode ser escrita na forma canônica a(x − h)² + k ou, se as raízes forem r₁ e r₂, na forma fatorada a(x − r₁)(x − r₂). A soma das raízes é sempre −b/a e o produto é c/a.
Aviso legal: Esta calculadora realiza operações matemáticas padrão apenas para uso geral e educacional. Ela não substitui uma revisão profissional — para cálculos em que a precisão é fundamental, como declarações financeiras, trabalhos de engenharia ou entregas acadêmicas, verifique o resultado de forma independente.
Perguntas frequentes
Sobre esta calculadora
Esta calculadora de equações do 2.º grau encontra as raízes de qualquer equação da forma ax² + bx + c = 0. Digite a, b e c como números inteiros, decimais ou frações. Você recebe as raízes na forma exata (como 3 ± 2√3 ou −1 ± 2i) e em decimais, o discriminante, o vértice, a forma fatorada e a forma canônica, a solução passo a passo e o gráfico da parábola com as raízes e o vértice marcados.
O que é uma equação do 2.º grau?
Uma equação do 2.º grau (ou quadrática) é uma equação em que a maior potência de x é 2: ax² + bx + c = 0, com a diferente de 0. Os números a, b e c são os coeficientes, e as soluções se chamam raízes. Uma equação desse tipo tem sempre exatamente duas raízes, contando duas vezes uma raiz dupla e aceitando números complexos. O gráfico, y = ax² + bx + c, é uma curva em forma de U chamada parábola. As raízes reais são os pontos onde a parábola corta o eixo x.
Três formas de resolver
- Fatorar: escrever o lado esquerdo como um produto, por exemplo x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Um produto só é 0 quando um dos fatores é 0, então x = 2 ou x = 3. É rápido, mas só funciona bem quando as raízes são números simples.
- Completar o quadrado: escrever a equação como a(x − h)² + k = 0 e depois resolver (x − h)² = −k/a. É assim que se deduz a fórmula, e o vértice (h, k) aparece junto.
- A fórmula de Bhaskara: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Funciona para qualquer equação do 2.º grau, inclusive com raízes irracionais ou complexas. Esta calculadora usa essa fórmula e mostra cada passo.
Como a calculadora funciona
Primeiro o discriminante. A calculadora encontra Δ = b² − 4ac. Se Δ > 0, há duas raízes reais diferentes; se Δ = 0, uma raiz dupla; e se Δ < 0, as raízes são complexas: x = −b/(2a) ± (√|Δ| / (2a))i.
Resultados exatos. Quando a, b e c são inteiros, decimais ou frações, a calculadora multiplica todos por um mesmo número para que fiquem inteiros, o que não muda as raízes. Depois simplifica a raiz quadrada, por exemplo √48 = 4√3, e reduz a fração. Assim, −0,5x² + 3x + 1,5 = 0 dá as raízes exatas 3 ± 2√3, e não só 6,464102 e −0,464102.
Decimais precisos. A fórmula dos livros pode perder quase toda a precisão quando b² é muito maior que 4ac, porque subtrai dois números quase iguais. A calculadora usa a forma estável: calcula q = −(b ± √Δ)/2 com o sinal de b e depois x₁ = q/a e x₂ = c/q. Para x² + 100 000 000x + 1 = 0, ela encontra corretamente a raiz pequena −0,00000001, enquanto a fórmula simples dá 0.
Casos especiais. Se a = 0, a equação é do 1.º grau (bx + c = 0): a calculadora avisa e resolve. Se a = b = 0, a equação não tem solução ou todo x é solução.
Exemplos
- x² − 5x + 6 = 0: Δ = 25 − 24 = 1, então x = (5 ± 1)/2, ou seja, x = 2 e x = 3. Forma fatorada: (x − 2)(x − 3).
- 2x² − 7x + 3 = 0: Δ = 49 − 24 = 25, então x = (7 ± 5)/4, ou seja, x = 1/2 e x = 3. Forma fatorada: (2x − 1)(x − 3).
- x² − 2x + 1 = 0: Δ = 4 − 4 = 0, então há uma raiz dupla, x = 1. A parábola toca o eixo x no vértice (1, 0).
- x² + 2x + 5 = 0: Δ = 4 − 20 = −16, então não há raízes reais. As raízes são x = −1 ± 2i, e a parábola fica acima do eixo x, com o ponto mais baixo em (−1, 4).
- x² − x − 1 = 0: Δ = 5, então x = (1 ± √5)/2. A raiz positiva, 1,618034, é a razão áurea.
Equações do 2.º grau no dia a dia
- Lançamentos: uma bola lançada para cima a 20 m/s, a partir de 1,5 m de altura, fica a h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5 metros após t segundos. Resolvendo h(t) = 0, obtém-se t ≈ 4,16 s, o momento em que ela cai (a outra raiz, cerca de −0,07 s, não tem sentido aqui). O vértice dá a altura máxima: cerca de 21,9 m após 2,04 s.
- Área: um jardim tem 3 m a mais de comprimento do que de largura e área de 40 m². Se a largura é x, então x(x + 3) = 40, ou seja, x² + 3x − 40 = 0. As raízes são 5 e −8; a largura não pode ser negativa, então o jardim mede 5 m por 8 m.
- Lucro: se o lucro é P(x) = −2x² + 120x − 1000 para x unidades, os pontos de equilíbrio são as raízes, x = 10 e x = 50. O vértice mostra que o lucro máximo ocorre em x = 30, com P = 800.
- Engenharia e física: distâncias de frenagem, equações de lentes e espelhos e circuitos elétricos levam muitas vezes a equações do 2.º grau.
- Raízes exatas e decimais — Mostra as raízes como frações, raízes quadradas simplificadas ou números complexos (como (−1 ± √19)/3 ou −1 ± 2i), com os valores decimais ao lado.
- Discriminante e tipo de raízes — Calcula b² − 4ac e explica se há duas raízes reais, uma raiz dupla ou duas raízes complexas.
- Solução passo a passo — Mostra cada passo da fórmula de Bhaskara com os seus números.
- Vértice e outras formas — Dá o vértice, o eixo de simetria, a interseção com o eixo y, a forma fatorada, a forma canônica e a soma e o produto das raízes.
- Gráfico interativo — Desenha a parábola com as raízes e o vértice marcados. Passe o cursor pelo gráfico para ler qualquer ponto.