Calculadora de ecuaciones lineales
Resuelva ecuaciones lineales y simplifique expresiones lineales. Resuelva sistemas de ecuaciones por Gauss-Jordan, sustitución o la regla de Cramer, y sistemas diferenciales lineales x′ = Ax. Fracciones exactas y todos los pasos.
Las matemáticas del solucionador
Una ecuación lineal con una incógnita siempre se puede escribir como ax = b. Si a ≠ 0, la única solución es x = b/a. Si a = 0, la ecuación dice 0 = b. Se cumple para todo x cuando b = 0 (una identidad) y para ningún x cuando b ≠ 0 (una contradicción). El solucionador usa fracciones exactas, así que 1/3 sigue siendo 1/3 y nunca se redondea a 0,333333.
Escriba el sistema como Ax = b. El método de Gauss-Jordan usa tres operaciones de fila: intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número distinto de 0 y sumar a una fila un múltiplo de otra. Ninguna cambia el conjunto de soluciones. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema tiene solución exactamente cuando rango(A) = rango([A | b]), y la solución es única exactamente cuando ese rango es igual al número de incógnitas. La sustitución y la regla de Cramer, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), dan la misma respuesta cuando A es cuadrada y det(A) ≠ 0.
Para X′ = AX con una matriz constante A de 2 × 2, se prueba X = e^(λt)v. Esto funciona exactamente cuando Av = λv, así que λ debe ser raíz de λ² − (traza A)λ + det A = 0. Dos valores propios reales distintos dan c₁e^(λ₁t)v₁ + c₂e^(λ₂t)v₂. Valores propios complejos α ± βi dan soluciones con e^(αt)cos βt y e^(αt)sin βt. Un valor propio doble con un solo vector propio añade un término con t·e^(λt). Los signos de la traza, el determinante y el discriminante deciden si el origen es un nodo, una silla, un foco o un centro.
Aviso legal: Esta calculadora realiza operaciones matemáticas estándar solo para uso general y educativo. No sustituye una revisión profesional — para cálculos donde la precisión es fundamental, como declaraciones financieras, trabajos de ingeniería o entregas académicas, verifica el resultado de forma independiente.
Preguntas frecuentes
Acerca de esta calculadora
Esta calculadora de ecuaciones lineales resuelve tres tipos de problemas. Resuelve una ecuación lineal, o despeja una incógnita elegida, y simplifica expresiones lineales. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales con hasta 8 ecuaciones y 8 incógnitas, por Gauss-Jordan, por sustitución o con la regla de Cramer. También encuentra la solución de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales x′ = Ax para una matriz A de 2 × 2. Todos los cálculos usan fracciones exactas y cada respuesta incluye sus pasos.
¿Qué es una ecuación lineal?
Una ecuación es lineal cuando cada incógnita aparece solo con exponente 1 y solo se multiplica por números. Así, 3x + 2y = 7 y x/2 − 1 = 4(x + 3) son lineales, pero x² = 4, xy = 6 y 1/x = 2 no lo son. Toda ecuación lineal con n incógnitas se puede escribir como a₁x₁ + a₂x₂ + … + aₙxₙ = b. Con una incógnita es ax = b. Con dos incógnitas su gráfica es una recta, y de ahí viene el nombre.
Cómo resolver una ecuación lineal
- Quitar paréntesis y reducir términos semejantes en cada lado.
- Pasar los términos con la incógnita a un lado y los números al otro. Sumar o restar lo mismo en los dos lados no cambia las soluciones.
- Dividir los dos lados entre el coeficiente de la incógnita.
- Comprobar el resultado sustituyéndolo en la ecuación original.
Por ejemplo, 3(x − 2) + 5 = 2x − 7 queda 3x − 1 = 2x − 7, así que x = −6. Comprobación: 3(−6 − 2) + 5 = −19 y 2(−6) − 7 = −19.
Si la incógnita se cancela, quedan dos casos. 2(x + 1) = 2x + 5 se reduce a 2 = 5, que nunca es cierto, así que no hay solución. 2(x + 1) = 2x + 2 se reduce a 2 = 2, que siempre es cierto, así que todo número real es solución.
Si escribe una expresión sin signo =, como 4(2a − 1) − 3(a + 2), la calculadora la simplifica a 5a − 10 y dice dónde vale 0 (a = 2). Una ecuación con dos incógnitas, como 2x + 3y = 12, se puede despejar para cualquiera de ellas. Despejando y se obtiene y = 4 − 2x/3: una recta con pendiente −2/3 que corta el eje y en 4.
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que deben cumplirse al mismo tiempo. Una solución es un valor para cada incógnita que hace verdadera cada ecuación. Solo hay tres resultados posibles: exactamente una solución, ninguna solución o infinitas soluciones. Con dos incógnitas se ve en la gráfica. Las dos rectas se cortan en un punto, son paralelas o son la misma recta.
Método de Gauss-Jordan
La calculadora escribe el sistema como matriz ampliada [A | b] y aplica operaciones de fila hasta llegar a la forma escalonada reducida. Cada paso se muestra con la matriz resultante. Luego los rangos deciden el caso (teorema de Rouché-Frobenius). Si rango(A) < rango([A | b]), una fila dice 0 = c con c ≠ 0 y no hay solución. Si rango(A) = rango([A | b]) = n, el número de incógnitas, la solución es única. En otro caso hay n − rango(A) incógnitas libres, y las demás se escriben en función de ellas.
Sustitución
Se despeja una incógnita de una ecuación, se sustituye esa expresión en las demás y se repite hasta que quede una sola incógnita. Después se sustituye hacia atrás. El solucionador elige, cuando puede, una incógnita con coeficiente 1 o −1, porque así las fracciones quedan pequeñas. Para x + y = 10 y x − y = 2, la primera ecuación da x = 10 − y. Entonces (10 − y) − y = 2, así que y = 4 y x = 6.
Regla de Cramer
Para un sistema cuadrado con det(A) ≠ 0, cada incógnita es xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), donde Aᵢ es A con la columna i reemplazada por b. Es una fórmula cerrada, pero en sistemas grandes necesita muchas más operaciones que la eliminación. Es más útil para sistemas de 2 × 2 y 3 × 3.
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
La tercera pestaña resuelve x′ = ax + by, y′ = cx + dy, escrito X′ = AX, con el método de los valores propios. Los valores propios son las raíces de la ecuación característica λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0.
- Dos valores propios reales distintos λ₁ y λ₂ con vectores propios v₁ y v₂ dan X(t) = c₁e^(λ₁t)v₁ + c₂e^(λ₂t)v₂.
- Un valor propio doble λ con un solo vector propio v da X(t) = c₁e^(λt)v + c₂e^(λt)(tv + w), donde (A − λI)w = v.
- Valores propios complejos α ± βi con vector propio p + iq dan X(t) = c₁e^(αt)(p cos βt − q sin βt) + c₂e^(αt)(p sin βt + q cos βt).
Si ingresa x(0) e y(0), la calculadora halla c₁ y c₂ y escribe x(t) e y(t). También indica el tipo de equilibrio en el origen (silla, nodo, foco o centro) y dibuja un retrato de fase. Por ejemplo, A = [1 2; 2 1] tiene valores propios 3 y −1 con vectores propios (1, 1) y (1, −1). Con x(0) = 1 e y(0) = 0, la solución es x(t) = (1/2)e^(3t) + (1/2)e^(−t) e y(t) = (1/2)e^(3t) − (1/2)e^(−t).
Dónde se usan las ecuaciones lineales
- Precios y mezclas: 3 manzanas y 2 peras cuestan 4,10, y 1 manzana y 4 peras cuestan 4,70. El sistema 3a + 2p = 4,10, a + 4p = 4,70 da p = 1,00 y a = 0,70.
- Punto de equilibrio: con costos de 500 + 12x e ingresos de 32x, ambos son iguales cuando 20x = 500, es decir, con x = 25 unidades.
- Circuitos eléctricos: las leyes de Kirchhoff dan una ecuación lineal por cada malla y cada nodo. Al resolver el sistema se obtienen las corrientes.
- Cambios acoplados: dos tanques de agua salada conectados, dos poblaciones que interactúan cerca del equilibrio y una masa unida a un resorte llevan a un sistema X′ = AX.
- Fracciones exactas — Todos los cálculos son exactos, así que respuestas como x = 7/3 se mantienen exactas, con su valor decimal al lado.
- Tres métodos para sistemas — Resuelve sistemas de hasta 8 ecuaciones y 8 incógnitas por Gauss-Jordan, sustitución o la regla de Cramer, y muestra cada paso.
- Todos los casos — Encuentra la solución única, indica cuando no hay solución y da la solución general con incógnitas libres cuando hay infinitas. También muestra los rangos.
- Expresiones y rectas — Simplifica expresiones lineales, despeja cualquier incógnita y da la pendiente, el corte con el eje y la gráfica de una ecuación con dos incógnitas.
- Sistemas diferenciales x′ = Ax — Da los valores propios, los vectores propios, la solución general, la solución para valores iniciales dados, el tipo de equilibrio y un retrato de fase.