Comprobador de números primos
Compruebe si un número de hasta 40 dígitos es primo. Con factorización en primos, divisores, primos anterior y siguiente, y todos los primos de un rango.
Cómo se comprueba si un número es primo
Un número primo es un número entero mayor que 1 con exactamente dos divisores: 1 y él mismo. 2, 3, 5, 7 y 11 son primos. Un número con más divisores, como 12 (1, 2, 3, 4, 6, 12), es compuesto. 0 y 1 no son primos ni compuestos. Todo número entero mayor que 1 se puede escribir de una sola forma como producto de primos, por ejemplo 360 = 2³ × 3² × 5.
Para comprobar n, se divide entre cada primo hasta √n. Si n = a × b, uno de los dos tiene que ser √n o menor. Si ningún primo hasta √n divide a n, entonces n es primo. Para 221, √221 ≈ 14,9 y 221 ÷ 13 = 17, así que 221 no es primo. Esta calculadora usa este método para números de hasta un billón.
Para números más grandes, la división es demasiado lenta, así que la calculadora usa la prueba de Miller-Rabin. Comprueba una propiedad que tiene todo número primo, con varios valores de prueba llamados bases. Con los primeros 13 primos como bases, la prueba está demostrada para todo número menor que unos 3,3 × 10²⁴. Por encima se usan 20 bases y el resultado se llama primo probable. Los números compuestos se descomponen con el método rho de Pollard.
Aviso legal: Esta calculadora realiza operaciones matemáticas estándar solo para uso general y educativo. No sustituye una revisión profesional — para cálculos donde la precisión es fundamental, como declaraciones financieras, trabajos de ingeniería o entregas académicas, verifica el resultado de forma independiente.
Preguntas frecuentes
Acerca de esta calculadora
Este comprobador de números primos le dice al instante si un número entero es primo. Si no lo es, verá su factorización en primos y sus divisores. También muestra el primo anterior y el siguiente, señala los primos gemelos y los primos de Mersenne, y explica cada paso para números de hasta un billón. En la pestaña Primos en un rango puede listar todos los primos entre dos números.
Qué hace que un número sea primo
Un número primo es un número entero mayor que 1 con exactamente dos divisores: 1 y él mismo. 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son los primeros primos. 2 es el único primo par, porque cualquier otro número par es divisible entre 2. Un número entero mayor que 1 que no es primo se llama compuesto. 0 y 1 no son primos ni compuestos.
Los primos son las piezas con las que se forman todos los números enteros. El teorema fundamental de la aritmética dice que todo número entero mayor que 1 se escribe de una sola forma como producto de primos, sin contar el orden. Por ejemplo, 360 = 2³ × 3² × 5. Esta es la factorización que muestra el comprobador para los números compuestos.
Cómo funciona el comprobador
Números pequeños y medianos (hasta un billón): división por tanteo. Para comprobar n, el comprobador lo divide entre cada primo hasta √n. Basta con eso, porque si n = a × b, a o b tiene que ser √n o menor. Si ninguno de esos primos divide a n, n es primo. Para 1.000.000.007, √n ≈ 31.623, así que prueba los 3.401 primos hasta 31.622 y ve que ninguno lo divide.
Números grandes: la prueba de Miller-Rabin. Por encima de un billón, el comprobador usa la prueba de Miller-Rabin. Todo primo impar p supera una comprobación que consiste en escribir p − 1 = 2ˢ × d y elevar un valor de prueba (una base) a la potencia d módulo p. Un número compuesto falla con la mayoría de las bases. Con los primeros 13 primos (del 2 al 41) como bases, la prueba está demostrada para todo número menor que unos 3,3 × 10²⁴. Para números mayores usa 20 bases y marca el resultado como primo probable.
Factorización: el método rho de Pollard. Para descomponer un número compuesto grande, primero quita los factores primos pequeños y luego usa el método rho de Pollard, que encuentra un factor mucho más rápido que la división por tanteo. Los números cuyos factores primos son todos muy grandes pueden tardar años en factorizarse en cualquier computadora. En ese caso, el comprobador muestra la parte que no pudo descomponer.
Primos en un rango: la criba. La pestaña de rango usa una criba de Eratóstenes segmentada. Tacha los múltiplos de cada primo hasta √(Hasta), y cada número que queda es primo. Procesa hasta un millón de números a la vez, en cualquier lugar hasta un billón.
Ejemplos
- 221: √221 ≈ 14,9, así que el comprobador prueba 2, 3, 5, 7, 11 y 13. 221 ÷ 13 = 17, así que 221 = 13 × 17 es compuesto. Mucha gente cree que 221 es primo porque es impar y no termina en 5.
- 561: 561 = 3 × 11 × 17. Es el menor número de Carmichael, un número compuesto que engaña a la prueba simple de Fermat con cualquier base que no comparta factores con él. La prueba de Miller-Rabin no tiene esa debilidad.
- 2.147.483.647: es 2³¹ − 1, un primo de Mersenne y el mayor valor de un entero con signo de 32 bits en programación. El comprobador confirma que es primo y lo marca como primo de Mersenne.
- 600.851.475.143: = 71 × 839 × 1.471 × 6.857. Su mayor factor primo, 6.857, es la respuesta a un conocido problema de programación (Project Euler, problema 3).
Los primos se vuelven más escasos al crecer los números, pero nunca se acaban. El teorema de los números primos dice que cerca de un número n, aproximadamente 1 de cada ln(n) números es primo. Cerca de un billón, ln(10¹²) ≈ 27,6, así que un bloque de 200.000 números debería tener unos 7.238 primos. Entre 999.999.800.000 y 1.000.000.000.000 hay 7.213, algo que puede comprobar con la pestaña de rango.
Dónde se usan los números primos
- Seguridad en internet: el cifrado RSA multiplica dos primos secretos de cientos de dígitos. Cualquiera puede ver el producto, pero ningún método conocido puede factorizarlo en un tiempo razonable, y eso protege la clave.
- Programación: las tablas hash suelen usar un número primo de posiciones para repartir bien los datos, y en los concursos se piden a menudo respuestas módulo el primo 1.000.000.007.
- Récords matemáticos: el proyecto GIMPS busca primos de Mersenne muy grandes. En octubre de 2024 encontró 2^136.279.841 − 1, un primo de más de 41 millones de dígitos.
- Enseñanza: buscar primos, hacer árboles de factores y contar divisores son temas básicos en la escuela, y los pasos detallados muestran cada división.
- Comprobación al instante — Comprueba cualquier número entero de hasta 40 dígitos e indica si es primo, compuesto o ninguno de los dos (0 y 1).
- Factorización y divisores — Descompone los números compuestos en factores primos con exponentes y muestra el número de divisores y los propios divisores.
- Paso a paso — Para números de hasta un billón, muestra √n, los primos probados y la división que demuestra la respuesta.
- Primos en un rango — Lista todos los primos entre dos números, hasta un billón y un millón de números a la vez, con el número de parejas de primos gemelos.
- Primos cercanos y especiales — Muestra el primo anterior y el siguiente, y señala los primos gemelos y los de Mersenne.