Calculadora de ecuaciones cuadráticas
Resuelva ax² + bx + c = 0 paso a paso. Raíces exactas y decimales, también complejas, con discriminante, vértice, forma factorizada y gráfica.
Cómo resolver una ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática tiene la forma ax² + bx + c = 0, donde a no es 0. Sus soluciones son x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). El ± da dos respuestas: una con + y otra con −. Por ejemplo, x² − 5x + 6 = 0 tiene a = 1, b = −5, c = 6, así que x = (5 ± √1) / 2, es decir, x = 3 y x = 2.
La parte bajo la raíz, D = b² − 4ac, indica de antemano qué tipo de raíces hay. Si D > 0 hay dos raíces reales y la parábola corta el eje x dos veces. Si D = 0 hay una raíz doble y la parábola toca el eje x en su vértice. Si D < 0 no hay raíces reales; las raíces son números complejos y la parábola nunca toca el eje x.
La gráfica de y = ax² + bx + c es una parábola. Su vértice está en x = −b / (2a), y el valor de y allí es c − b² / (4a). La misma ecuación se puede escribir en forma de vértice, a(x − h)² + k, o, si las raíces son r₁ y r₂, en forma factorizada, a(x − r₁)(x − r₂). Las raíces siempre suman −b/a y su producto es c/a.
Aviso legal: Esta calculadora realiza operaciones matemáticas estándar solo para uso general y educativo. No sustituye una revisión profesional — para cálculos donde la precisión es fundamental, como declaraciones financieras, trabajos de ingeniería o entregas académicas, verifica el resultado de forma independiente.
Preguntas frecuentes
Acerca de esta calculadora
Esta calculadora de ecuaciones cuadráticas encuentra las raíces de cualquier ecuación de la forma ax² + bx + c = 0. Ingrese a, b y c como números enteros, decimales o fracciones. Obtendrá las raíces en forma exacta (como 3 ± 2√3 o −1 ± 2i) y en decimales, el discriminante, el vértice, la forma factorizada y la forma de vértice, la solución paso a paso y la gráfica de la parábola con las raíces y el vértice marcados.
¿Qué es una ecuación cuadrática?
Una ecuación cuadrática es una ecuación en la que la mayor potencia de x es 2: ax² + bx + c = 0, con a distinto de 0. Los números a, b y c son los coeficientes, y las soluciones se llaman raíces. Una ecuación cuadrática siempre tiene exactamente dos raíces si se cuenta dos veces una raíz doble y se aceptan números complejos. Su gráfica, y = ax² + bx + c, es una curva en forma de U llamada parábola. Las raíces reales son los puntos donde la parábola corta el eje x.
Tres formas de resolver
- Factorizar: escribir el lado izquierdo como un producto, por ejemplo x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Un producto es 0 solo si un factor es 0, así que x = 2 o x = 3. Es rápido, pero solo funciona bien cuando las raíces son números sencillos.
- Completar el cuadrado: escribir la ecuación como a(x − h)² + k = 0 y luego resolver (x − h)² = −k/a. Así se deduce la fórmula general, y además se obtiene el vértice (h, k).
- La fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Sirve para cualquier ecuación cuadrática, también con raíces irracionales o complejas. Esta calculadora la usa y muestra cada paso.
Cómo funciona la calculadora
Primero el discriminante. La calculadora obtiene D = b² − 4ac. Si D > 0 hay dos raíces reales distintas, si D = 0 hay una raíz doble y si D < 0 las raíces son complejas: x = −b/(2a) ± (√|D| / (2a))i.
Resultados exactos. Cuando a, b y c son enteros, decimales o fracciones, la calculadora los multiplica por un mismo número para volverlos enteros, lo que no cambia las raíces. Luego simplifica la raíz cuadrada, por ejemplo √48 = 4√3, y reduce la fracción. Así, −0,5x² + 3x + 1,5 = 0 da las raíces exactas 3 ± 2√3 y no solo 6,464102 y −0,464102.
Decimales precisos. La fórmula de los libros puede perder casi toda su precisión cuando b² es mucho mayor que 4ac, porque resta dos números casi iguales. La calculadora usa la forma estable: calcula q = −(b ± √D)/2 con el signo de b, y luego x₁ = q/a y x₂ = c/q. Para x² + 100.000.000x + 1 = 0, obtiene bien la raíz pequeña −0,00000001, mientras que la fórmula simple da 0.
Casos especiales. Si a = 0, la ecuación es lineal (bx + c = 0): la calculadora lo indica y la resuelve. Si a = b = 0, la ecuación no tiene solución o todo x es solución.
Ejemplos
- x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1, así que x = (5 ± 1)/2, es decir, x = 2 y x = 3. Forma factorizada: (x − 2)(x − 3).
- 2x² − 7x + 3 = 0: D = 49 − 24 = 25, así que x = (7 ± 5)/4, es decir, x = 1/2 y x = 3. Forma factorizada: (2x − 1)(x − 3).
- x² − 2x + 1 = 0: D = 4 − 4 = 0, así que hay una raíz doble, x = 1. La parábola toca el eje x en su vértice (1, 0).
- x² + 2x + 5 = 0: D = 4 − 20 = −16, así que no hay raíces reales. Las raíces son x = −1 ± 2i, y la parábola queda por encima del eje x con su punto más bajo en (−1, 4).
- x² − x − 1 = 0: D = 5, así que x = (1 ± √5)/2. La raíz positiva, 1,618034, es el número áureo.
Ecuaciones cuadráticas en la vida real
- Lanzamientos: una pelota lanzada hacia arriba a 20 m/s desde 1,5 m de altura está a h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5 metros después de t segundos. Al resolver h(t) = 0 se obtiene t ≈ 4,16 s, el momento en que cae (la otra raíz, unos −0,07 s, no tiene sentido aquí). El vértice da la altura máxima: unos 21,9 m a los 2,04 s.
- Área: un jardín mide 3 m más de largo que de ancho y tiene 40 m². Si el ancho es x, entonces x(x + 3) = 40, es decir, x² + 3x − 40 = 0. Las raíces son 5 y −8; un ancho no puede ser negativo, así que el jardín mide 5 m por 8 m.
- Ganancias: si la ganancia es P(x) = −2x² + 120x − 1.000 para x unidades, los puntos de equilibrio son las raíces, x = 10 y x = 50. El vértice muestra que la ganancia máxima está en x = 30, con P = 800.
- Ingeniería y física: distancias de frenado, ecuaciones de lentes y espejos, y circuitos eléctricos llevan a menudo a ecuaciones cuadráticas.
- Raíces exactas y decimales — Muestra las raíces como fracciones, raíces cuadradas simplificadas o números complejos (como (−1 ± √19)/3 o −1 ± 2i), con sus valores decimales.
- Discriminante y tipo de raíces — Calcula b² − 4ac y explica si hay dos raíces reales, una raíz doble o dos raíces complejas.
- Solución paso a paso — Muestra cada paso de la fórmula general con sus números.
- Vértice y otras formas — Da el vértice, el eje de simetría, el corte con el eje y, la forma factorizada, la forma de vértice y la suma y el producto de las raíces.
- Gráfica interactiva — Dibuja la parábola con las raíces y el vértice marcados. Pase el cursor sobre la gráfica para leer cualquier punto.