Calculadora de sistemas de ecuaciones
Resuelva sistemas de ecuaciones paso a paso por reducción o sustitución. Sistemas lineales con hasta 6 incógnitas y sistemas no lineales con x², y² y xy, con soluciones exactas, comprobación y gráfica.
Cómo se resuelven los sistemas de ecuaciones
Se multiplican dos ecuaciones por números elegidos para que una incógnita tenga coeficientes opuestos (o iguales), y luego se suman (o se restan). Esa incógnita desaparece. Se repite hasta que queda una ecuación con una incógnita, se resuelve y se sustituye hacia atrás. Para 5x + 3y = 7 y 3x − 5y = −23, 3·(1) − 5·(2) da 34y = 136, así que y = 4, y luego 3x − 20 = −23 da x = −1.
Se despeja una incógnita de una ecuación y el resultado se sustituye en las demás. Es el método natural para sistemas no lineales cuando una ecuación es lineal: de x + y = 7 sale y = 7 − x, y x² + y² = 25 queda x² + (7 − x)² = 25, una ecuación cuadrática con raíces x = 3 y x = 4.
Un sistema lineal tiene exactamente una solución, ninguna o infinitas. Dos ecuaciones de grados m y n con dos incógnitas tienen como máximo m·n soluciones comunes, salvo que compartan un factor común (teorema de Bézout). Así, una recta y una circunferencia se cortan como máximo dos veces, y dos cónicas como máximo cuatro. En la gráfica, cada solución real es un punto de intersección de las curvas.
Aviso legal: Esta calculadora realiza operaciones matemáticas estándar solo para uso general y educativo. No sustituye una revisión profesional — para cálculos donde la precisión es fundamental, como declaraciones financieras, trabajos de ingeniería o entregas académicas, verifica el resultado de forma independiente.
Preguntas frecuentes
Acerca de esta calculadora
Esta calculadora de sistemas de ecuaciones encuentra los valores de las incógnitas que hacen verdaderas varias ecuaciones a la vez. Resuelve sistemas lineales con hasta 6 ecuaciones y 6 incógnitas, y sistemas no lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas que tienen cuadrados y productos como x², y² y xy. Escriba las ecuaciones una por línea o separadas por comas, y elija reducción o sustitución. Obtiene las soluciones exactas, cada paso, una comprobación y una gráfica de las curvas con los puntos de intersección marcados.
¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones que comparten incógnitas y deben cumplirse todas a la vez. Una solución es un conjunto de valores, uno para cada incógnita, que cumple cada ecuación. Con dos incógnitas, cada ecuación es una recta o una curva en el plano, y las soluciones son exactamente los puntos donde se encuentran todas las curvas. Por ejemplo, x + y = 10 y x − y = 2 se cortan en (6, 4).
Método de reducción
- Multiplicar las ecuaciones por números enteros adecuados para que una incógnita tenga el mismo coeficiente en dos de ellas.
- Restar (o sumar) las ecuaciones para eliminar esa incógnita.
- Repetir hasta que quede una ecuación con una incógnita, y resolverla.
- Sustituir el valor hacia atrás para hallar las demás incógnitas.
Ejemplo: 5x + 3y = 7 y 3x − 5y = −23. Se multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 5, y luego se restan: 34y = 136, así que y = 4. Después 3x − 5·4 = −23 da x = −1. La calculadora mantiene cada nueva ecuación con números enteros y le da un número, para que vea qué ecuaciones se combinaron.
Método de sustitución
Se despeja una incógnita de una ecuación y esa expresión se sustituye en las demás. Cada sustitución elimina una incógnita. Para x + 2y = 2x − 5 y x − y = 3, la segunda ecuación da x = y + 3. Al sustituir en la primera se obtiene (y + 3) + 2y = 2(y + 3) − 5, así que y = −2 y x = 1.
Sistemas no lineales
Cuando una ecuación contiene x², y², xy o potencias mayores, el sistema es no lineal y puede tener varias soluciones. La calculadora elige el más simple de tres caminos e indica cuál usó.
- Sustitución: si una ecuación es lineal en una incógnita, como y = 2x − 1, se despeja esa incógnita y se sustituye en la otra ecuación. y = x² − 4 e y = 2x − 1 dan x² − 2x − 3 = 0, así que x = 3 o x = −1, y las soluciones son (3, 5) y (−1, −3).
- Reducción: si los términos con una incógnita son iguales en las dos ecuaciones, restar o sumar la elimina. Para x² + y² = 13 y x² − y² = 5, sumar da 2x² = 18, así que x = ±3 e y = ±2: cuatro soluciones.
- Resultante: en los demás casos, la resultante de los dos polinomios elimina una incógnita y deja una ecuación polinómica en la otra.
Las soluciones exactas se mantienen siempre que es posible. Para x² + y = 5 y x² + y² = 7, las soluciones son x = ±√3, y = 2 y x = ±√6, y = −1. Si no hay soluciones reales, como con x² + y² = 4 y x + y = 5 (la recta no toca la circunferencia), la calculadora lo indica.
¿Cuántas soluciones puede haber?
Un sistema lineal tiene exactamente una solución, ninguna o infinitas. Dos ecuaciones de grados m y n con dos incógnitas tienen como máximo m × n soluciones comunes, salvo que compartan un factor común (teorema de Bézout). Así, una recta y una parábola se cortan como máximo dos veces, y dos circunferencias u otras cónicas como máximo cuatro. Si una ecuación es múltiplo de la otra, o comparten un factor, hay infinitas soluciones.
Dónde se usan los sistemas de ecuaciones
- Precios: 2 cafés y 3 magdalenas cuestan 13, y 4 cafés y 1 magdalena cuestan 11. Entonces 2c + 3m = 13 y 4c + m = 11, que da c = 2 y m = 3.
- Geometría: un rectángulo de perímetro 34 y área 60 tiene lados con x + y = 17 y xy = 60, así que los lados miden 5 y 12.
- Ciencia e ingeniería: las corrientes de un circuito eléctrico, las fuerzas de una armadura y el ajuste de ecuaciones químicas llevan a sistemas de ecuaciones lineales.
- Intersecciones: los puntos comunes de una recta y una circunferencia, o de dos trayectorias curvas, son las soluciones de un sistema no lineal.
- Sistemas lineales y no lineales — Resuelve sistemas lineales con hasta 6 ecuaciones y 6 incógnitas, y sistemas no lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas con términos como x², y² y xy.
- Reducción o sustitución — Usted elige el método. La reducción combina ecuaciones con multiplicadores enteros y numera cada nueva ecuación. La sustitución despeja una incógnita tras otra.
- Soluciones exactas — Los resultados se dan como enteros, fracciones o raíces como √3, con su valor decimal al lado.
- Todos los casos — Indica cuándo un sistema no tiene solución, no tiene solución real o tiene infinitas, y da la solución general en función de las incógnitas libres.
- Gráfica y comprobación — Dibuja cada ecuación como recta o curva con los puntos de intersección marcados, y sustituye cada solución en cada ecuación.