Calculadora de exponentes
Calcule cualquier potencia bⁿ, también con exponentes negativos, decimales y fraccionarios. Obtenga el resultado exacto, hasta 100 cifras significativas y los pasos, o halle la base o el exponente.
Leyes de los exponentes
| Ley | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto de igual base | bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Cociente de igual base | bᵐ / bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25 |
| Potencia de una potencia | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Potencia de un producto | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1000 |
| Potencia de una fracción | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
| Exponente cero | b⁰ = 1 (b ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| Exponente negativo | b⁻ⁿ = 1/bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Exponente fraccionario | bp/q = q√(bᵖ) | 82/3 = ∛(8²) = 4 |
En bⁿ, la base b se multiplica por sí misma n veces: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Las leyes de arriba extienden esto a n = 0, a n negativos y a fracciones, para que bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ siga siendo cierto con cualquier exponente. Para exponentes irracionales como 2^√2, se define bⁿ = e^(n · ln b).
Primero, −3² = −9, pero (−3)² = 9: el exponente va antes que el signo menos y, sin paréntesis, solo afecta al 3. Segundo, una torre de potencias se lee de arriba abajo: 2^3^2 = 2^(3²) = 2⁹ = 512, no (2³)² = 64.
(−8)^(1/3) = −2 porque (−2)³ = −8: las raíces impares de números negativos son reales. Las raíces pares no: (−4)^(1/2) no tiene valor real. Simplifique siempre la fracción primero, porque (−8)^(2/6) y (−8)^(1/3) son el mismo número, −2, aunque 6 sea par.
Aviso legal: Esta calculadora realiza operaciones matemáticas estándar solo para uso general y educativo. No sustituye una revisión profesional — para cálculos donde la precisión es fundamental, como declaraciones financieras, trabajos de ingeniería o entregas académicas, verifica el resultado de forma independiente.
Preguntas frecuentes
Acerca de esta calculadora
Esta calculadora de exponentes resuelve bⁿ = x para cualquiera de sus tres partes. En el modo Potencia eleva una base b a un exponente n. Los otros dos modos hallan la base (una raíz n-ésima) o el exponente (un logaritmo). La base y el exponente pueden ser enteros, decimales, fracciones o números negativos. Obtiene el resultado exacto cuando existe, como 2¹⁰⁰ completo, 8^(2/3) = 4 o 12^(3/2) = 24√3, un valor decimal con hasta 100 cifras significativas y los pasos.
Qué significa un exponente
Para un número entero n, bⁿ es el producto de n factores b: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. El número b es la base y n es el exponente o potencia. Todos los demás casos salen de una sola regla, bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ. Si la regla debe valer para n = 0, entonces b⁰ = 1. Para un exponente negativo da b⁻ⁿ = 1/bⁿ. Para fracciones, (b^(1/q))^q = b, así que b^(1/q) es la raíz q-ésima de b, y b^(p/q) es la raíz q-ésima de bᵖ. Para un exponente irracional como π, se define bⁿ = e^(n · ln b) cuando b > 0.
Cómo funciona la calculadora
Exponentes enteros. Los resultados de hasta 20.000 cifras se calculan de forma exacta con aritmética entera, así que 2¹⁰⁰ = 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376 se muestra completo. La calculadora usa cuadrados sucesivos: como 100 = 64 + 32 + 4, 2¹⁰⁰ = 2⁶⁴ × 2³² × 2⁴, lo que requiere solo 8 multiplicaciones en lugar de 99. Los resultados más grandes, como 2^1.000.000, se muestran en notación científica junto con el número de cifras y las últimas 20 cifras exactas, que se obtienen calculando módulo 10²⁰.
Exponentes fraccionarios y decimales. Un exponente decimal se escribe primero como fracción irreducible, así que 1,5 = 3/2. Luego b^(p/q) es la raíz q-ésima de bᵖ, y la calculadora simplifica la raíz sacando las potencias q-ésimas exactas: 12^(3/2) = √1728 = 24√3, porque 1728 = 24² × 3. El valor decimal sale de e^(n · ln b). El logaritmo y la exponencial se calculan con cifras de guarda adicionales a la precisión elegida, y la última cifra mostrada se redondea.
Bases negativas. (−2)⁴ = 16 y (−2)³ = −8: un exponente par quita el signo menos y uno impar lo mantiene. Para exponentes fraccionarios, la calculadora sigue la convención de la raíz real de los libros de álgebra. Si la fracción irreducible tiene denominador impar, la raíz es real: (−8)^(1/3) = −2 y (−8)^(2/3) = 4. Si el denominador es par, no hay resultado real, y la calculadora da el valor complejo principal: (−4)^(1/2) = 2i.
Hallar la base o el exponente. Para despejar b en bⁿ = x, se elevan ambos lados a 1/n: b = x^(1/n). Un exponente par da dos soluciones reales, como b = ±3 para b⁴ = 81. Para despejar n, se toman logaritmos: n = ln x / ln b. Cuando n es una fracción, la calculadora la halla de forma exacta y la comprueba con aritmética entera. Por ejemplo, log₈ 4 = 2/3 porque 8^(2/3) = 4. Si no, da n con el número de cifras significativas elegido, por ejemplo log₂ 10 ≈ 3,32192809488736.
Ejemplos resueltos
- 2¹⁰ = 1.024: diez factores 2. Por eso un kibibyte tiene 1.024 bytes.
- 5⁻³ = 1/125 = 0,008: un exponente negativo da el inverso.
- 27^(2/3) = 9: la raíz cúbica de 27 es 3, y 3² = 9.
- 2^0,5 = √2 ≈ 1,41421356237310: un exponente 1/2 es una raíz cuadrada.
- 1,05¹⁰ ≈ 1,62889462677744: un dinero que crece un 5 % al año durante 10 años crece en total cerca de un 62,9 %.
- b³ = −125 da b = −5, y 2ⁿ = 1.000.000 da n ≈ 19,9315685693242.
Dónde se usan los exponentes
- Interés compuesto: una cantidad P a una tasa anual r se convierte en P(1 + r)ᵗ después de t años.
- Notación científica: los números muy grandes y muy pequeños se escriben con potencias de 10, como 6,022 × 10²³ para el número de Avogadro.
- Informática: n bits pueden guardar 2ⁿ valores distintos, así que 32 bits dan 2³² = 4.294.967.296.
- Crecimiento y desintegración: una población que se duplica en cada periodo crece como 2ᵗ, y una muestra radiactiva conserva (1/2)^(t/h) de su masa después de un tiempo t, donde h es el periodo de semidesintegración.
Para raíces solas, la Calculadora de raíz cuadrada y la Calculadora de raíces de esta categoría dan más detalle sobre cómo simplificar radicales.
- Despejar cualquier parte — Resuelve bⁿ = x para la potencia, la base o el exponente.
- Resultados exactos — Muestra completos los resultados enteros de hasta 20.000 cifras, fracciones como 1/125 y raíces simplificadas como 24√3.
- Hasta 100 cifras significativas — Calcula los valores decimales con aritmética entera de alta precisión, así que incluso 1,0001¹⁰⁰⁰⁰ es correcto en cada cifra mostrada.
- Bases negativas y exponentes fraccionarios — Usa la raíz real con denominadores impares, como (−8)^(1/3) = −2, y da el valor complejo principal cuando no existe un resultado real.
- Pasos detallados — Muestra las leyes de los exponentes usadas, desde los cuadrados sucesivos hasta escribir 1,5 como 3/2.