Calculadora de raíz cuadrada
Halle la raíz cuadrada de cualquier número, fracción o número negativo. Forma simplificada como 6√2, hasta 100 decimales y los pasos.
Cómo funcionan las raíces cuadradas
La raíz cuadrada de x es el número que, multiplicado por sí mismo, da x. √49 = 7 porque 7 × 7 = 49. Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa (7 y −7), pero el símbolo √ indica la positiva, llamada raíz principal.
Para simplificar √x, se descompone x en factores primos y se saca de la raíz cada pareja de primos iguales. En 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, las parejas 2 × 2 y 3 × 3 salen como 2 y 3, y un 2 queda dentro: √72 = 2 × 3 × √2 = 6√2. Cuando no quedan parejas dentro, la raíz está en su forma más simple.
Para una fracción, se saca la raíz de arriba y de abajo: √(9/16) = 3/4. Si el denominador no es un cuadrado perfecto, se multiplican arriba y abajo por su raíz para que no quede raíz abajo: √(8/3) = 2√6/3. Un número negativo no tiene raíz cuadrada real, porque el cuadrado de un número real es 0 o mayor. Sus raíces son imaginarias: √−12 = 2i√3, con i² = −1.
Aviso legal: Esta calculadora realiza operaciones matemáticas estándar solo para uso general y educativo. No sustituye una revisión profesional — para cálculos donde la precisión es fundamental, como declaraciones financieras, trabajos de ingeniería o entregas académicas, verifica el resultado de forma independiente.
Preguntas frecuentes
Acerca de esta calculadora
Esta calculadora de raíz cuadrada da la raíz de cualquier número de dos formas: la forma exacta simplificada, como √72 = 6√2, y un valor decimal con hasta 100 decimales. También funciona con fracciones (√(8/3) = 2√6/3), decimales (√0,25 = 1/2) y números negativos (√−12 = 2i√3). Para cada respuesta muestra los pasos, las dos raíces cuadradas, si el número es un cuadrado perfecto, los cuadrados perfectos que lo rodean y una comprobación elevando el resultado al cuadrado.
¿Qué es una raíz cuadrada?
La raíz cuadrada de un número x es el número que, multiplicado por sí mismo, da x. √49 = 7 porque 7 × 7 = 49. Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa (7 y −7). El símbolo √ indica siempre la positiva, llamada raíz principal. Un cuadrado perfecto es un número entero cuya raíz también es entera, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 y 144.
Cómo funciona la calculadora
Forma simplificada. La calculadora descompone el número en factores primos y saca de la raíz cada pareja de primos iguales. 72 = 2³ × 3², así que las parejas 2 × 2 y 3 × 3 salen como 2 y 3, y un 2 queda dentro: √72 = 2 × 3 × √2 = 6√2. Una raíz está en su forma más simple cuando ningún cuadrado (salvo 1) divide al número bajo la raíz.
Fracciones y decimales. Primero se escribe el decimal como fracción (2,25 = 9/4). Luego, √(a/b) = √a / √b. Si el denominador no es un cuadrado perfecto, la calculadora multiplica arriba y abajo por su raíz para que no quede raíz en el denominador. Esto se llama racionalizar: √(8/3) = √8 / √3 = 2√2 / √3 = 2√6/3.
Números negativos. Ningún número real elevado al cuadrado da un número negativo, así que un número negativo no tiene raíz cuadrada real. Sus raíces son números imaginarios. La calculadora saca √−1 = i: √−12 = i × √12 = 2i√3, porque (2i√3)² = 4 × i² × 3 = −12.
Alta precisión. El valor decimal no se calcula con números de coma flotante normales, que solo guardan unos 16 dígitos. La calculadora halla la raíz entera de x × 10²ᵈ con aritmética entera exacta, así que cada uno de los hasta 100 decimales es correcto, y el último se redondea. Por ejemplo, √2 = 1,4142135624 con 10 decimales.
Ejemplos
- √72: 72 = 2³ × 3², así que √72 = 6√2 ≈ 8,485281374. Comprobación: (6√2)² = 36 × 2 = 72. Está entre 8 y 9, porque 64 < 72 < 81.
- √2025: 2025 = 3⁴ × 5², así que √2025 = 3² × 5 = 45. Es un cuadrado perfecto.
- √(8/3): = 2√6/3 ≈ 1,632993. Comprobación: (2√6/3)² = 4 × 6 / 9 = 8/3.
- √0,25: 0,25 = 1/4, así que √0,25 = 1/2 = 0,5.
- √−12: = 2i√3 ≈ 3,464102i. Las dos raíces cuadradas son ±2i√3.
El método babilónico
Las calculadoras y los ordenadores hallan raíces cuadradas con un método de unos 4.000 años de antigüedad. Se empieza con una estimación g, se reemplaza por el promedio de g y x/g, y se repite. Para √72, empezando con g = 8, las siguientes estimaciones son (8 + 72/8) / 2 = 8,5, luego 8,485294 y luego 8,4852813742. Tras 4 pasos son correctos los unos 16 dígitos que guarda normalmente un ordenador. La calculadora muestra esta tabla para todo número que no sea un cuadrado perfecto, para que vea lo rápido que se acercan las estimaciones.
Raíces cuadradas en la vida diaria
- Del área al lado: una habitación cuadrada de 50 m² tiene lados de √50 = 5√2 ≈ 7,07 m.
- Diagonales: por el teorema de Pitágoras, la diagonal de una puerta de 0,9 m de ancho y 2,0 m de alto es √(0,9² + 2,0²) = √4,81 ≈ 2,19 m. Así sabe si una mesa larga puede pasar inclinada.
- Caída de objetos: un objeto que cae desde 20 m tarda t = √(2h/g) = √(2 × 20 / 9,81) ≈ 2,02 segundos en llegar al suelo.
- Estadística: la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Una varianza de 16 da una desviación estándar de √16 = 4.
Esta herramienta es solo para raíces cuadradas. Para raíces cúbicas y otras raíces, como ∛27 o la raíz cuarta de 81, use la calculadora de raíces de la categoría Matemáticas.
- Forma simplificada — Da la respuesta exacta en su forma más simple, como √72 = 6√2 o √(8/3) = 2√6/3, con los pasos de la descomposición en primos.
- Hasta 100 decimales — Calcula el valor decimal con aritmética entera exacta, así que los 10, 20, 50 o 100 decimales son correctos.
- Fracciones, decimales y negativos — Acepta valores como 8/3, 0,25 o −12, y da raíces imaginarias (como 2i√3) para los números negativos.
- Comprobación de cuadrado perfecto — Indica si el número es un cuadrado perfecto y muestra los cuadrados perfectos que lo rodean, como 8 < √72 < 9.
- Tabla del método babilónico — Muestra paso a paso cómo el método clásico de estimar y promediar se acerca a la raíz cuadrada.