Lineare Gleichungen lösen
Lösen Sie lineare Gleichungen und vereinfachen Sie lineare Terme. Lösen Sie Gleichungssysteme mit dem Gauß-Jordan-Verfahren, dem Einsetzungsverfahren oder der Cramerschen Regel, dazu lineare Differentialgleichungssysteme x′ = Ax. Exakte Brüche und vollständiger Lösungsweg.
Die Mathematik hinter dem Rechner
Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten lässt sich immer in die Form ax = b bringen. Ist a ≠ 0, ist x = b/a die einzige Lösung. Ist a = 0, lautet die Gleichung 0 = b. Sie gilt für jedes x, wenn b = 0 ist (allgemeingültig), und für kein x, wenn b ≠ 0 ist (Widerspruch). Der Rechner arbeitet mit exakten Brüchen, also bleibt 1/3 genau 1/3 und wird nie auf 0,333333 gerundet.
Schreiben Sie das System als Ax = b. Das Gauß-Jordan-Verfahren nutzt drei Zeilenumformungen: zwei Zeilen tauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Keine davon ändert die Lösungsmenge. Nach dem Satz von Rouché-Capelli ist das System genau dann lösbar, wenn rang(A) = rang([A | b]) ist, und die Lösung ist genau dann eindeutig, wenn dieser Rang gleich der Anzahl der Unbekannten ist. Einsetzungsverfahren und Cramersche Regel, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), liefern dasselbe Ergebnis, wenn A quadratisch ist und det(A) ≠ 0.
Für X′ = AX mit einer konstanten 2 × 2-Matrix A setzt man X = e^(λt)v an. Das klappt genau dann, wenn Av = λv ist, also muss λ eine Nullstelle von λ² − (Spur A)λ + det A = 0 sein. Zwei verschiedene reelle Eigenwerte liefern c₁e^(λ₁t)v₁ + c₂e^(λ₂t)v₂. Komplexe Eigenwerte α ± βi liefern Lösungen mit e^(αt)cos βt und e^(αt)sin βt. Ein doppelter Eigenwert mit nur einem Eigenvektor ergibt einen zusätzlichen Term mit t·e^(λt). Die Vorzeichen von Spur, Determinante und Diskriminante entscheiden, ob der Ursprung ein Knoten, ein Sattel, ein Strudel oder ein Zentrum ist.
Haftungsausschluss: Dieser Rechner führt Standard-Rechenoperationen ausschließlich für allgemeine und schulische Zwecke aus. Wir ersetzen keine fachliche Prüfung — bei Berechnungen, bei denen Genauigkeit entscheidend ist, etwa bei Steuererklärungen, technischen Arbeiten oder wissenschaftlichen Abgaben, überprüfen Sie das Ergebnis bitte unabhängig.
Häufig gestellte Fragen
Über diesen Rechner
Dieser Rechner für lineare Gleichungen löst drei Arten von Aufgaben. Er löst eine einzelne lineare Gleichung oder löst eine lineare Gleichung nach einer gewählten Unbekannten auf, und er vereinfacht lineare Terme. Er löst lineare Gleichungssysteme mit bis zu 8 Gleichungen und 8 Unbekannten, mit dem Gauß-Jordan-Verfahren, dem Einsetzungsverfahren oder der Cramerschen Regel. Außerdem findet er die Lösung eines linearen Differentialgleichungssystems x′ = Ax für eine 2 × 2-Matrix A. Alle Rechnungen erfolgen mit exakten Brüchen, und zu jedem Ergebnis gibt es den Lösungsweg.
Was ist eine lineare Gleichung?
Eine Gleichung ist linear, wenn jede Unbekannte nur in der ersten Potenz vorkommt und nur mit Zahlen multipliziert wird. Also sind 3x + 2y = 7 und x/2 − 1 = 4(x + 3) linear, aber x² = 4, xy = 6 und 1/x = 2 nicht. Jede lineare Gleichung mit n Unbekannten lässt sich als a₁x₁ + a₂x₂ + … + aₙxₙ = b schreiben. Mit einer Unbekannten ist das ax = b. Mit zwei Unbekannten ist der Graph eine Gerade, daher kommt der Name.
So löst man eine lineare Gleichung
- Klammern ausmultiplizieren und gleichartige Terme auf jeder Seite zusammenfassen.
- Die Terme mit der Unbekannten auf eine Seite und die Zahlen auf die andere Seite bringen. Wenn man auf beiden Seiten dasselbe addiert oder subtrahiert, ändern sich die Lösungen nicht.
- Beide Seiten durch den Koeffizienten der Unbekannten teilen.
- Die Probe machen: das Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Zum Beispiel wird 3(x − 2) + 5 = 2x − 7 zu 3x − 1 = 2x − 7, also x = −6. Probe: 3(−6 − 2) + 5 = −19 und 2(−6) − 7 = −19.
Fällt die Unbekannte weg, bleiben zwei Fälle. 2(x + 1) = 2x + 5 wird zu 2 = 5, das ist nie wahr, also gibt es keine Lösung. 2(x + 1) = 2x + 2 wird zu 2 = 2, das ist immer wahr, also ist jede reelle Zahl eine Lösung.
Geben Sie einen Term ohne =-Zeichen ein, etwa 4(2a − 1) − 3(a + 2), vereinfacht der Rechner ihn zu 5a − 10 und sagt, wo er 0 ist (a = 2). Eine Gleichung mit zwei Unbekannten wie 2x + 3y = 12 lässt sich nach jeder der beiden auflösen. Nach y aufgelöst ergibt sich y = 4 − 2x/3: eine Gerade mit Steigung −2/3, die die y-Achse bei 4 schneidet.
Lineare Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die alle gleichzeitig gelten müssen. Eine Lösung ist ein Wert für jede Unbekannte, der jede Gleichung erfüllt. Es gibt nur drei Möglichkeiten: genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Bei zwei Unbekannten sieht man das im Graphen. Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt, sind parallel oder sind dieselbe Gerade.
Gauß-Jordan-Verfahren
Der Rechner schreibt das System als erweiterte Matrix [A | b] und wendet Zeilenumformungen an, bis die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform ist. Jeder Schritt wird mit der Matrix danach gezeigt. Dann entscheiden die Ränge über den Fall (Satz von Rouché-Capelli). Ist rang(A) < rang([A | b]), lautet eine Zeile 0 = c mit c ≠ 0, und es gibt keine Lösung. Ist rang(A) = rang([A | b]) = n, die Anzahl der Unbekannten, ist die Lösung eindeutig. Sonst sind n − rang(A) Unbekannte frei, und die anderen werden durch sie ausgedrückt.
Einsetzungsverfahren
Eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen, diesen Ausdruck in die anderen Gleichungen einsetzen und das wiederholen, bis eine Unbekannte übrig ist. Dann rückwärts einsetzen. Der Rechner wählt nach Möglichkeit eine Unbekannte mit Koeffizient 1 oder −1, weil die Brüche so klein bleiben. Bei x + y = 10 und x − y = 2 liefert die erste Gleichung x = 10 − y. Dann gilt (10 − y) − y = 2, also y = 4 und x = 6.
Cramersche Regel
Für ein quadratisches System mit det(A) ≠ 0 ist jede Unbekannte xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), wobei Aᵢ die Matrix A ist, deren Spalte i durch b ersetzt wurde. Das ist eine geschlossene Formel, aber für große Systeme braucht sie viel mehr Rechenschritte als das Eliminationsverfahren. Am nützlichsten ist sie für 2 × 2- und 3 × 3-Systeme.
Lineare Differentialgleichungssysteme
Der dritte Reiter löst x′ = ax + by, y′ = cx + dy, kurz X′ = AX, mit der Eigenwertmethode. Die Eigenwerte sind die Nullstellen der charakteristischen Gleichung λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0.
- Zwei verschiedene reelle Eigenwerte λ₁ und λ₂ mit Eigenvektoren v₁ und v₂ liefern X(t) = c₁e^(λ₁t)v₁ + c₂e^(λ₂t)v₂.
- Ein doppelter Eigenwert λ mit nur einem Eigenvektor v liefert X(t) = c₁e^(λt)v + c₂e^(λt)(tv + w), wobei (A − λI)w = v gilt.
- Komplexe Eigenwerte α ± βi mit Eigenvektor p + iq liefern X(t) = c₁e^(αt)(p cos βt − q sin βt) + c₂e^(αt)(p sin βt + q cos βt).
Geben Sie x(0) und y(0) ein, bestimmt der Rechner c₁ und c₂ und schreibt x(t) und y(t) aus. Er nennt auch die Art der Ruhelage im Ursprung (Sattel, Knoten, Strudel oder Zentrum) und zeichnet ein Phasenporträt. Zum Beispiel hat A = [1 2; 2 1] die Eigenwerte 3 und −1 mit den Eigenvektoren (1, 1) und (1, −1). Mit x(0) = 1 und y(0) = 0 ist die Lösung x(t) = (1/2)e^(3t) + (1/2)e^(−t) und y(t) = (1/2)e^(3t) − (1/2)e^(−t).
Wo lineare Gleichungen vorkommen
- Preise und Mischungen: 3 Äpfel und 2 Birnen kosten 4,10, und 1 Apfel und 4 Birnen kosten 4,70. Das System 3a + 2p = 4,10, a + 4p = 4,70 ergibt p = 1,00 und a = 0,70.
- Gewinnschwelle: Bei Kosten von 500 + 12x und Erlös von 32x sind beide gleich, wenn 20x = 500 ist, also bei x = 25 Stück.
- Elektrische Schaltungen: Die Kirchhoffschen Regeln liefern eine lineare Gleichung für jede Masche und jeden Knoten. Das Lösen des Systems ergibt die Ströme.
- Gekoppelte Vorgänge: zwei verbundene Behälter mit Salzwasser, zwei sich beeinflussende Populationen nahe dem Gleichgewicht und eine Masse an einer Feder führen alle auf ein System X′ = AX.
- Exakte Brüche — Alle Rechnungen sind exakt, also bleiben Ergebnisse wie x = 7/3 genau, mit dem Dezimalwert daneben.
- Drei Verfahren für Systeme — Löst Systeme mit bis zu 8 Gleichungen und 8 Unbekannten mit dem Gauß-Jordan-Verfahren, dem Einsetzungsverfahren oder der Cramerschen Regel und zeigt jeden Schritt.
- Alle Fälle — Findet eine eindeutige Lösung, zeigt, wenn es keine Lösung gibt, und gibt bei unendlich vielen Lösungen die allgemeine Lösung mit freien Unbekannten an. Die Ränge werden ebenfalls gezeigt.
- Terme und Geraden — Vereinfacht lineare Terme, löst eine Gleichung nach jeder Unbekannten auf und gibt Steigung, Achsenabschnitt und Graph einer Gleichung mit zwei Unbekannten an.
- Differentialsysteme x′ = Ax — Liefert Eigenwerte, Eigenvektoren, die allgemeine Lösung, die Lösung zu gegebenen Anfangswerten, die Art der Ruhelage und ein Phasenporträt.