Quadratwurzel-Rechner

Dieser Quadratwurzel-Rechner gibt die Wurzel jeder Zahl auf zwei Arten an: in exakter, vereinfachter Form, zum Beispiel √72 = 6√2, und als Dezimalzahl mit bis zu 100 Nachkommastellen. Er funktioniert auch mit Brüchen (√(8/3) = 2√6/3), Dezimalzahlen (√0,25 = 1/2) und negativen Zahlen (√−12 = 2i√3). Zu jedem Ergebnis zeigt er den Rechenweg, beide Quadratwurzeln, ob die Zahl eine Quadratzahl ist, die Quadratzahlen davor und danach und eine Probe durch Quadrieren.

Was ist eine Quadratwurzel?

Die Quadratwurzel einer Zahl x ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert x ergibt. √49 = 7, weil 7 × 7 = 49. Jede positive Zahl hat zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative (7 und −7). Das Zeichen √ steht immer für die positive, die Hauptwurzel. Eine Quadratzahl ist eine ganze Zahl, deren Wurzel ebenfalls ganzzahlig ist, etwa 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 und 144.

So arbeitet der Rechner

Vereinfachte Wurzelform. Der Rechner zerlegt die Zahl in Primfaktoren und zieht jedes Paar gleicher Primzahlen aus der Wurzel. 72 = 2³ × 3², also kommen die Paare 2 × 2 und 3 × 3 als 2 und 3 heraus, und eine 2 bleibt in der Wurzel: √72 = 2 × 3 × √2 = 6√2. Eine Wurzel ist vollständig vereinfacht, wenn keine Quadratzahl außer 1 die Zahl unter der Wurzel teilt.

Brüche und Dezimalzahlen. Eine Dezimalzahl wird zuerst als Bruch geschrieben (2,25 = 9/4). Dann gilt √(a/b) = √a / √b. Ist der Nenner keine Quadratzahl, multipliziert der Rechner Zähler und Nenner mit seiner Wurzel, damit im Nenner keine Wurzel bleibt. Das nennt man Rationalmachen des Nenners: √(8/3) = √8 / √3 = 2√2 / √3 = 2√6/3.

Negative Zahlen. Keine reelle Zahl ergibt quadriert eine negative Zahl, daher hat eine negative Zahl keine reelle Quadratwurzel. Ihre Wurzeln sind imaginäre Zahlen. Der Rechner zieht √−1 = i heraus: √−12 = i × √12 = 2i√3, denn (2i√3)² = 4 × i² × 3 = −12.

Hohe Genauigkeit. Der Dezimalwert wird nicht mit gewöhnlichen Gleitkommazahlen berechnet, die nur etwa 16 Stellen speichern. Stattdessen bestimmt der Rechner die ganzzahlige Wurzel von x × 10²ᵈ mit exakter Ganzzahl-Arithmetik. So ist jede der bis zu 100 Nachkommastellen richtig, und die letzte Stelle wird gerundet. Zum Beispiel ist √2 = 1,4142135624 auf 10 Stellen.

Beispiele

• √72: 72 = 2³ × 3², also √72 = 6√2 ≈ 8,485281374. Probe: (6√2)² = 36 × 2 = 72. Die Wurzel liegt zwischen 8 und 9, weil 64 < 72 < 81.
• √2025: 2025 = 3⁴ × 5², also √2025 = 3² × 5 = 45. Das ist eine Quadratzahl.
• √(8/3): = 2√6/3 ≈ 1,632993. Probe: (2√6/3)² = 4 × 6 / 9 = 8/3.
• √0,25: 0,25 = 1/4, also √0,25 = 1/2 = 0,5.
• √−12: = 2i√3 ≈ 3,464102i. Die beiden Quadratwurzeln sind ±2i√3.

Das Heron-Verfahren (babylonisches Wurzelziehen)

Rechner und Computer bestimmen Quadratwurzeln mit einem etwa 4.000 Jahre alten Verfahren. Man beginnt mit einem Schätzwert g, ersetzt ihn durch den Mittelwert von g und x/g und wiederholt das. Für √72 mit dem Start g = 8 sind die nächsten Werte (8 + 72/8) / 2 = 8,5, dann 8,485294 und dann 8,4852813742. Nach 4 Schritten stimmen alle etwa 16 Stellen, die ein Computer normalerweise speichert. Der Rechner zeigt diese Tabelle für jede Zahl, die keine Quadratzahl ist, damit Sie sehen, wie schnell sich die Werte annähern.

Quadratwurzeln im Alltag

• Von der Fläche zur Seitenlänge: Ein quadratischer Raum mit 50 m² Fläche hat Seiten von √50 = 5√2 ≈ 7,07 m.
• Diagonalen: Nach dem Satz des Pythagoras ist die Diagonale einer 0,9 m breiten und 2,0 m hohen Tür √(0,9² + 2,0²) = √4,81 ≈ 2,19 m. So sehen Sie, ob ein langer Tisch schräg hindurchpasst.
• Fallende Gegenstände: Ein Gegenstand, der aus 20 m Höhe fällt, braucht t = √(2h/g) = √(2 × 20 / 9,81) ≈ 2,02 Sekunden bis zum Boden.
• Statistik: Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Eine Varianz von 16 ergibt eine Standardabweichung von √16 = 4.

Dieses Werkzeug ist nur für Quadratwurzeln gedacht. Für Kubikwurzeln und andere Wurzeln, etwa ∛27 oder die 4. Wurzel aus 81, nutzen Sie den Wurzelrechner in der Kategorie Mathematik.