Was ist ein negativer Exponent?

Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert der positiven Potenz: b⁻ⁿ = 1/bⁿ. Zum Beispiel ist 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Das folgt aus der Produktregel: 2³ × 2⁻³ = 2⁰ = 1, also muss 2⁻³ gleich 1/2³ sein. Ein negativer Exponent macht das Ergebnis nicht negativ. (−2)⁻³ = −1/8 ist nur negativ, weil die Basis negativ und 3 ungerade ist.

Was bedeutet ein Bruch im Exponenten?

Der Nenner steht für eine Wurzel und der Zähler für eine Potenz: b^(p/q) ist die q-te Wurzel aus bᵖ, also dasselbe wie (q-te Wurzel aus b)ᵖ. Zum Beispiel ist 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4 und 9^(1/2) = √9 = 3. Ein Dezimalexponent funktioniert genauso, sobald man ihn als Bruch schreibt: 16^0,75 = 16^(3/4) = 2³ = 8.

Warum ist jede Zahl hoch 0 gleich 1?

Beim Dividieren von Potenzen subtrahiert man die Exponenten: bⁿ / bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰. Jede Zahl außer 0 geteilt durch sich selbst ergibt 1, also ist b⁰ = 1. Der Fall 0⁰ ist besonders. In Algebra und Kombinatorik wird er als 1 festgelegt, damit Formeln wie der binomische Lehrsatz gültig bleiben, und dieser Rechner folgt dieser Konvention. Als Grenzwert ist 0⁰ ein unbestimmter Ausdruck.

Ist −3² gleich 9 oder −9?

−3² = −9. Der Exponent wird vor dem Minuszeichen angewendet, also bedeutet −3² dasselbe wie −(3²). Um −3 zu quadrieren, braucht man Klammern: (−3)² = 9. In diesem Rechner gilt eine negative Zahl im Feld Basis immer als eine Zahl in Klammern. Basis −3 mit Exponent 2 ergibt also 9.

Wie löst man bⁿ = x nach dem Exponenten auf?

Man logarithmiert beide Seiten: n = log_b(x) = ln x / ln b. Zum Beispiel ergibt 2ⁿ = 1.000 den Wert n = ln 1000 / ln 2 ≈ 9,96578. Ist x eine exakte Potenz von b, ist das Ergebnis eine ganze Zahl oder ein Bruch: 3ⁿ = 81 ergibt n = 4, und 8ⁿ = 4 ergibt n = 2/3. Der Reiter Exponent finden zeigt das exakte Ergebnis, wenn es eines gibt.

Potenzrechner

Berechnen Sie jede Potenz bⁿ, auch mit negativen, dezimalen und gebrochenen Exponenten. Mit exaktem Ergebnis, bis zu 100 signifikanten Stellen und Rechenweg, oder lösen Sie nach Basis oder Exponent auf.

Potenzgesetze

Gesetz	Formel	Beispiel
Produkt gleicher Basen	bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ	2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
Quotient gleicher Basen	bᵐ / bⁿ = bᵐ⁻ⁿ	5⁶ / 5⁴ = 5² = 25
Potenz einer Potenz	(bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ	(3²)³ = 3⁶ = 729
Potenz eines Produkts	(ab)ⁿ = aⁿbⁿ	(2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1000
Potenz eines Bruchs	(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ	(2/3)² = 4/9
Exponent 0	b⁰ = 1 (b ≠ 0)	7⁰ = 1
Negativer Exponent	b⁻ⁿ = 1/bⁿ	2⁻³ = 1/8
Bruch als Exponent	b^p/q = ^q√(bᵖ)	8^2/3 = ∛(8²) = 4

Was ist ein Exponent?

In bⁿ wird die Basis b n-mal mit sich selbst multipliziert: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Die Gesetze oben erweitern das auf n = 0, negative n und Brüche, sodass bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ für jeden Exponenten gilt. Für irrationale Exponenten wie 2^√2 definiert man bⁿ = e^(n · ln b).

Zwei häufige Fehler

Erstens: −3² = −9, aber (−3)² = 9. Der Exponent bindet stärker als das Minuszeichen und gilt ohne Klammern nur für die 3. Zweitens: Ein Potenzturm wird von oben nach unten gelesen: 2^3^2 = 2^(3²) = 2⁹ = 512, nicht (2³)² = 64.

Negative Basen und Brüche im Exponenten

(−8)^(1/3) = −2, denn (−2)³ = −8. Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind also reell. Gerade Wurzeln sind es nicht: (−4)^(1/2) hat keinen reellen Wert. Kürzen Sie den Bruch immer zuerst, denn (−8)^(2/6) und (−8)^(1/3) sind dieselbe Zahl, −2, obwohl 6 gerade ist.

Haftungsausschluss: Dieser Rechner führt Standard-Rechenoperationen ausschließlich für allgemeine und schulische Zwecke aus. Wir ersetzen keine fachliche Prüfung — bei Berechnungen, bei denen Genauigkeit entscheidend ist, etwa bei Steuererklärungen, technischen Arbeiten oder wissenschaftlichen Abgaben, überprüfen Sie das Ergebnis bitte unabhängig.

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Häufig gestellte Fragen

Über diesen Rechner

Dieser Potenzrechner löst bⁿ = x nach jedem der drei Teile auf. Im Modus Potenz wird eine Basis b mit einem Exponenten n potenziert. Die beiden anderen Modi bestimmen die Basis (eine n-te Wurzel) oder den Exponenten (einen Logarithmus). Basis und Exponent dürfen ganze Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche oder negative Zahlen sein. Sie erhalten das exakte Ergebnis, wenn es eines gibt, zum Beispiel 2¹⁰⁰ vollständig, 8^(2/3) = 4 oder 12^(3/2) = 24√3, außerdem einen Dezimalwert mit bis zu 100 signifikanten Stellen und den Rechenweg.

Was ein Exponent bedeutet

Für eine ganze Zahl n ist bⁿ das Produkt aus n Faktoren b: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Die Zahl b heißt Basis und n heißt Exponent oder Hochzahl. Alle anderen Fälle folgen aus einer Regel: bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ. Soll diese Regel auch für n = 0 gelten, muss b⁰ = 1 sein. Für negative Exponenten folgt b⁻ⁿ = 1/bⁿ. Für Brüche gilt (b^(1/q))^q = b, also ist b^(1/q) die q-te Wurzel aus b und b^(p/q) die q-te Wurzel aus bᵖ. Für einen irrationalen Exponenten wie π definiert man bⁿ = e^(n · ln b), wenn b > 0 ist.

So arbeitet der Rechner

Ganzzahlige Exponenten. Ergebnisse bis 20.000 Ziffern werden exakt mit Ganzzahl-Arithmetik berechnet. So wird 2¹⁰⁰ = 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376 vollständig angezeigt. Der Rechner nutzt wiederholtes Quadrieren: Da 100 = 64 + 32 + 4 ist, gilt 2¹⁰⁰ = 2⁶⁴ × 2³² × 2⁴. Dafür reichen 8 Multiplikationen statt 99. Größere Ergebnisse wie 2^1.000.000 erscheinen in wissenschaftlicher Schreibweise, zusammen mit der Anzahl der Ziffern und den exakten letzten 20 Ziffern, die durch Rechnen modulo 10²⁰ entstehen.

Brüche und Dezimalzahlen im Exponenten. Ein Dezimalexponent wird zuerst als gekürzter Bruch geschrieben, also 1,5 = 3/2. Dann ist b^(p/q) die q-te Wurzel aus bᵖ, und der Rechner vereinfacht die Wurzel, indem er vollständige q-te Potenzen herauszieht: 12^(3/2) = √1728 = 24√3, denn 1728 = 24² × 3. Der Dezimalwert kommt aus e^(n · ln b). Logarithmus und Exponentialfunktion werden mit zusätzlichen Schutzstellen über die gewählte Genauigkeit hinaus berechnet, und die letzte angezeigte Stelle wird gerundet.

Negative Basen. (−2)⁴ = 16 und (−2)³ = −8: Ein gerader Exponent entfernt das Minuszeichen, ein ungerader behält es. Bei Brüchen im Exponenten folgt der Rechner der Konvention der reellen Wurzel aus dem Schulbuch. Hat der gekürzte Bruch einen ungeraden Nenner, ist die Wurzel reell: (−8)^(1/3) = −2 und (−8)^(2/3) = 4. Ist der Nenner gerade, gibt es kein reelles Ergebnis, und der Rechner zeigt den komplexen Hauptwert: (−4)^(1/2) = 2i.

Basis oder Exponent finden. Um bⁿ = x nach b aufzulösen, nimmt man beide Seiten hoch 1/n: b = x^(1/n). Ein gerader Exponent liefert zwei reelle Lösungen, etwa b = ±3 für b⁴ = 81. Um nach n aufzulösen, logarithmiert man: n = ln x / ln b. Ist n ein Bruch, findet der Rechner ihn exakt und bestätigt ihn mit Ganzzahl-Arithmetik. Zum Beispiel ist log₈ 4 = 2/3, weil 8^(2/3) = 4. Sonst gibt er n mit der gewählten Zahl signifikanter Stellen an, etwa log₂ 10 ≈ 3,32192809488736.

Beispiele

2¹⁰ = 1.024: zehn Faktoren 2. Deshalb hat ein Kibibyte 1.024 Byte.
5⁻³ = 1/125 = 0,008: Ein negativer Exponent ergibt den Kehrwert.
27^(2/3) = 9: Die Kubikwurzel aus 27 ist 3, und 3² = 9.
2^0,5 = √2 ≈ 1,41421356237310: Der Exponent 1/2 ist eine Quadratwurzel.
1,05¹⁰ ≈ 1,62889462677744: Geld, das 10 Jahre lang jährlich um 5 % wächst, wächst insgesamt um etwa 62,9 %.
b³ = −125 ergibt b = −5, und 2ⁿ = 1.000.000 ergibt n ≈ 19,9315685693242.

Wo Exponenten vorkommen

Zinseszins: Ein Betrag P wächst bei einem Jahreszins r in t Jahren auf P(1 + r)ᵗ.
Wissenschaftliche Schreibweise: Sehr große und sehr kleine Zahlen schreibt man mit Zehnerpotenzen, etwa 6,022 × 10²³ für die Avogadro-Zahl.
Informatik: Mit n Bits lassen sich 2ⁿ verschiedene Werte speichern, mit 32 Bits also 2³² = 4.294.967.296.
Wachstum und Zerfall: Eine Population, die sich in jeder Periode verdoppelt, wächst wie 2ᵗ. Eine radioaktive Probe behält nach der Zeit t den Anteil (1/2)^(t/h) ihrer Masse, wobei h die Halbwertszeit ist.

Für Wurzeln allein bieten der Quadratwurzel-Rechner und der Wurzelrechner in dieser Kategorie mehr Details zum Vereinfachen von Wurzeln.

Nach jedem Teil auflösen — Löst bⁿ = x nach der Potenz, der Basis oder dem Exponenten auf.
Exakte Ergebnisse — Zeigt ganzzahlige Ergebnisse bis 20.000 Ziffern vollständig, Brüche wie 1/125 und vereinfachte Wurzeln wie 24√3.
Bis zu 100 signifikante Stellen — Berechnet Dezimalwerte mit genauer Ganzzahl-Arithmetik, sodass selbst 1,0001¹⁰⁰⁰⁰ in jeder angezeigten Stelle stimmt.
Negative Basen und Brüche im Exponenten — Nutzt bei ungeradem Nenner die reelle Wurzel, etwa (−8)^(1/3) = −2, und zeigt den komplexen Hauptwert, wenn es kein reelles Ergebnis gibt.
Rechenweg Schritt für Schritt — Zeigt die verwendeten Potenzgesetze, vom wiederholten Quadrieren bis zum Umschreiben von 1,5 in 3/2.