Calculadora de equações lineares
Resolva equações lineares e simplifique expressões lineares. Resolva sistemas de equações por Gauss-Jordan, substituição ou regra de Cramer, e sistemas diferenciais lineares x′ = Ax. Frações exatas e todos os passos.
A matemática do resolvedor
Uma equação linear com uma incógnita pode sempre ser escrita como ax = b. Se a ≠ 0, a única solução é x = b/a. Se a = 0, a equação fica 0 = b. Vale para todo x quando b = 0 (uma identidade) e para nenhum x quando b ≠ 0 (uma contradição). O resolvedor usa frações exatas, então 1/3 continua 1/3 e nunca é arredondado para 0,333333.
Escreva o sistema como Ax = b. O método de Gauss-Jordan usa três operações de linha: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de 0 e somar a uma linha um múltiplo de outra. Nenhuma muda o conjunto das soluções. Pelo teorema de Rouché-Capelli, o sistema tem solução exatamente quando car(A) = car([A | b]), e a solução é única exatamente quando essa característica é igual ao número de incógnitas. A substituição e a regra de Cramer, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), dão a mesma resposta quando A é quadrada e det(A) ≠ 0.
Para X′ = AX com uma matriz constante A de 2 × 2, tenta-se X = e^(λt)v. Isto funciona exatamente quando Av = λv, então λ tem de ser raiz de λ² − (traço A)λ + det A = 0. Dois valores próprios reais diferentes dão c₁e^(λ₁t)v₁ + c₂e^(λ₂t)v₂. Valores próprios complexos α ± βi dão soluções com e^(αt)cos βt e e^(αt)sin βt. Um valor próprio duplo com um só vetor próprio acrescenta um termo com t·e^(λt). Os sinais do traço, do determinante e do discriminante decidem se a origem é um nó, uma sela, um foco ou um centro.
Aviso legal: Esta calculadora realiza operações matemáticas padrão apenas para uso geral e educacional. Ela não substitui uma revisão profissional — para cálculos em que a precisão é fundamental, como declarações financeiras, trabalhos de engenharia ou entregas acadêmicas, verifique o resultado de forma independente.
Perguntas frequentes
Sobre esta calculadora
Esta calculadora de equações lineares resolve três tipos de problemas. Resolve uma equação linear, ou isola uma incógnita escolhida, e simplifica expressões lineares. Resolve sistemas de equações lineares com até 8 equações e 8 incógnitas, por Gauss-Jordan, por substituição ou pela regra de Cramer. Também encontra a solução de um sistema linear de equações diferenciais x′ = Ax para uma matriz A de 2 × 2. Todos os cálculos usam frações exatas, e cada resposta vem com os passos.
O que é uma equação linear?
Uma equação é linear quando cada incógnita aparece só com expoente 1 e só é multiplicada por números. Assim, 3x + 2y = 7 e x/2 − 1 = 4(x + 3) são lineares, mas x² = 4, xy = 6 e 1/x = 2 não são. Toda equação linear com n incógnitas pode ser escrita como a₁x₁ + a₂x₂ + … + aₙxₙ = b. Com uma incógnita fica ax = b. Com duas incógnitas o gráfico é uma reta, e é daí que vem o nome.
Como resolver uma equação linear
- Eliminar os parênteses e juntar os termos semelhantes em cada lado.
- Passar os termos com a incógnita para um lado e os números para o outro. Somar ou subtrair o mesmo nos dois lados não muda as soluções.
- Dividir os dois lados pelo coeficiente da incógnita.
- Verificar o resultado, substituindo-o na equação original.
Por exemplo, 3(x − 2) + 5 = 2x − 7 fica 3x − 1 = 2x − 7, então x = −6. Verificação: 3(−6 − 2) + 5 = −19 e 2(−6) − 7 = −19.
Se a incógnita se cancela, restam dois casos. 2(x + 1) = 2x + 5 fica 2 = 5, que nunca é verdade, então não há solução. 2(x + 1) = 2x + 2 fica 2 = 2, que é sempre verdade, então todo número real é solução.
Se escrever uma expressão sem sinal =, como 4(2a − 1) − 3(a + 2), a calculadora simplifica-a para 5a − 10 e diz onde ela vale 0 (a = 2). Uma equação com duas incógnitas, como 2x + 3y = 12, pode ser resolvida em ordem a qualquer uma. Isolando y obtém-se y = 4 − 2x/3: uma reta com declive −2/3 que corta o eixo y em 4.
Sistemas de equações lineares
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares que devem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Uma solução é um valor para cada incógnita que torna cada equação verdadeira. Há só três resultados possíveis: exatamente uma solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. Com duas incógnitas isto vê-se no gráfico. As duas retas cruzam-se num ponto, são paralelas ou são a mesma reta.
Método de Gauss-Jordan
A calculadora escreve o sistema como matriz ampliada [A | b] e usa operações de linha até a matriz ficar na forma escalonada reduzida. Cada passo é mostrado com a matriz obtida. Depois, as características (postos) decidem o caso (teorema de Rouché-Capelli). Se car(A) < car([A | b]), uma linha diz 0 = c com c ≠ 0 e não há solução. Se car(A) = car([A | b]) = n, o número de incógnitas, a solução é única. Caso contrário, n − car(A) incógnitas são livres e as outras são escritas em função delas.
Substituição
Isola-se uma incógnita numa equação, substitui-se essa expressão nas outras equações e repete-se até restar uma só incógnita. Depois substitui-se de volta. O resolvedor escolhe, quando pode, uma incógnita com coeficiente 1 ou −1, porque assim as frações ficam pequenas. Para x + y = 10 e x − y = 2, a primeira equação dá x = 10 − y. Então (10 − y) − y = 2, logo y = 4 e x = 6.
Regra de Cramer
Para um sistema quadrado com det(A) ≠ 0, cada incógnita é xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), em que Aᵢ é A com a coluna i trocada por b. É uma fórmula fechada, mas em sistemas grandes precisa de muito mais operações do que a eliminação. É mais útil para sistemas de 2 × 2 e 3 × 3.
Sistemas lineares de equações diferenciais
O terceiro separador resolve x′ = ax + by, y′ = cx + dy, escrito X′ = AX, pelo método dos valores próprios. Os valores próprios são as raízes da equação característica λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0.
- Dois valores próprios reais diferentes λ₁ e λ₂ com vetores próprios v₁ e v₂ dão X(t) = c₁e^(λ₁t)v₁ + c₂e^(λ₂t)v₂.
- Um valor próprio duplo λ com um só vetor próprio v dá X(t) = c₁e^(λt)v + c₂e^(λt)(tv + w), em que (A − λI)w = v.
- Valores próprios complexos α ± βi com vetor próprio p + iq dão X(t) = c₁e^(αt)(p cos βt − q sin βt) + c₂e^(αt)(p sin βt + q cos βt).
Se introduzir x(0) e y(0), a calculadora encontra c₁ e c₂ e escreve x(t) e y(t). Também indica o tipo de equilíbrio na origem (sela, nó, foco ou centro) e desenha um retrato de fase. Por exemplo, A = [1 2; 2 1] tem valores próprios 3 e −1, com vetores próprios (1, 1) e (1, −1). Com x(0) = 1 e y(0) = 0, a solução é x(t) = (1/2)e^(3t) + (1/2)e^(−t) e y(t) = (1/2)e^(3t) − (1/2)e^(−t).
Onde se usam equações lineares
- Preços e misturas: 3 maçãs e 2 peras custam 4,10, e 1 maçã e 4 peras custam 4,70. O sistema 3a + 2p = 4,10, a + 4p = 4,70 dá p = 1,00 e a = 0,70.
- Ponto de equilíbrio: com custos de 500 + 12x e receita de 32x, os dois são iguais quando 20x = 500, ou seja, com x = 25 unidades.
- Circuitos elétricos: as leis de Kirchhoff dão uma equação linear para cada malha e cada nó. Resolver o sistema dá as correntes.
- Variações acopladas: dois tanques de água salgada ligados, duas populações que interagem perto do equilíbrio e uma massa presa a uma mola levam todos a um sistema X′ = AX.
- Frações exatas — Todos os cálculos são exatos, então respostas como x = 7/3 ficam exatas, com o valor decimal ao lado.
- Três métodos para sistemas — Resolve sistemas com até 8 equações e 8 incógnitas por Gauss-Jordan, substituição ou regra de Cramer, e mostra cada passo.
- Todos os casos — Encontra a solução única, mostra quando não há solução e dá a solução geral com incógnitas livres quando há infinitas. As características (postos) também são mostradas.
- Expressões e retas — Simplifica expressões lineares, isola qualquer incógnita e dá o declive, a interseção e o gráfico de uma equação com duas incógnitas.
- Sistemas diferenciais x′ = Ax — Dá os valores próprios, os vetores próprios, a solução geral, a solução para valores iniciais dados, o tipo de equilíbrio e um retrato de fase.