連立方程式ソルバー

この連立方程式ソルバーは、複数の方程式を同時に成り立たせる未知数の値を求めます。方程式・未知数ともに6個までの連立一次方程式と、x²、y²、xy などの2乗や積を含む、方程式2つ・未知数2つの非線形の連立方程式を解きます。方程式を1行に1つずつ、またはカンマで区切って入力し、加減法か代入法を選んでください。正確な解、すべての手順、検算、そして交点に印をつけた曲線のグラフが表示されます。

連立方程式とは

連立方程式とは、共通の未知数をもち、すべてが同時に成り立たなければならない2つ以上の方程式の組です。解とは、各未知数の値の組で、すべての方程式を満たすものです。未知数が2つなら、各方程式は平面上の直線や曲線で、解はすべての曲線が交わる点そのものです。たとえば x + y = 10 と x − y = 2 は点 (6, 4) で交わります。

加減法

• 2つの式で、ある未知数の係数がそろうように、それぞれの式を適当な整数倍する。
• 式どうしを引き算（または足し算）して、その未知数を消す。
• 未知数1つの式が残るまでくり返し、それを解く。
• 求めた値を逆に代入して、ほかの未知数を求める。

例：5x + 3y = 7、3x − 5y = −23。1つめの式を3倍、2つめの式を5倍して引くと 34y = 136、よって y = 4。さらに 3x − 5·4 = −23 から x = −1 です。ソルバーは新しくできた式を整数のまま保ち、番号をつけるので、どの式を組み合わせたかが分かります。

代入法

1つの式をある未知数について解き、その式をほかの式に代入します。代入するたびに未知数が1つ減ります。x + 2y = 2x − 5、x − y = 3 なら、2つめの式から x = y + 3。これを1つめの式に代入すると (y + 3) + 2y = 2(y + 3) − 5 となり、y = −2、x = 1 です。

非線形の連立方程式

式に x²、y²、xy やさらに高い次数の項があると、連立方程式は非線形になり、解が複数あることがあります。ソルバーは3つの方法のうちいちばん簡単なものを選び、どれを使ったかを表示します。

• 代入法：y = 2x − 1 のように、ある未知数について一次の式があれば、それをその未知数について解いてもう一方の式に代入します。y = x² − 4 と y = 2x − 1 からは x² − 2x − 3 = 0、よって x = 3 または x = −1 で、解は (3, 5) と (−1, −3) です。
• 加減法：ある未知数を含む項が両方の式で同じなら、引き算か足し算でその未知数が消えます。x² + y² = 13 と x² − y² = 5 では、足すと 2x² = 18、よって x = ±3、y = ±2 で、解は4つです。
• 終結式：それ以外の場合は、2つの多項式の終結式で1つの未知数を消し、もう一方の未知数だけの方程式にします。

正確な解は、可能なかぎりそのまま表示します。x² + y = 5 と x² + y² = 7 の解は x = ±√3、y = 2 と x = ±√6、y = −1 です。x² + y² = 4 と x + y = 5（直線が円と交わらない）のように実数解がない場合は、そのことを示します。

解はいくつあるか

連立一次方程式の解は、ただ1つ、なし、無数のどれかです。2つの未知数についての m 次と n 次の方程式は、共通因数がなければ共通解を最大 m × n 個もちます（ベズーの定理）。直線と放物線の交点は最大2個、2つの円やほかの二次曲線の交点は最大4個です。一方の式がもう一方の定数倍であるか、共通因数をもつ場合は、解は無数になります。

連立方程式が使われる場面

• 値段：コーヒー2杯とマフィン3個で13、コーヒー4杯とマフィン1個で11 のとき、2c + 3m = 13、4c + m = 11 から c = 2、m = 3。
• 図形：周の長さ34、面積60の長方形の辺は x + y = 17、xy = 60 を満たすので、辺の長さは5と12です。
• 科学と工学：電気回路の電流、トラスにかかる力、化学反応式の係数合わせは、どれも連立一次方程式になります。
• 交点：直線と円の交点や、2つの曲がった経路の交点は、非線形の連立方程式の解です。