二次方程式ソルバー
ax² + bx + c = 0 を手順付きで解きます。虚数解も含む厳密解と小数の解に加え、判別式、頂点、因数分解した形、グラフも表示します。
二次方程式の解き方
二次方程式は ax² + bx + c = 0（a は0でない）の形をしています。解は x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) です。± により、+ と − の2つの答えが出ます。例えば x² − 5x + 6 = 0 は a = 1、b = −5、c = 6 なので、x = (5 ± √1) / 2 となり、x = 3 と x = 2 です。
根号の中の D = b² − 4ac を見ると、解の種類が先に分かります。D > 0 なら実数解が2つあり、放物線は x 軸と2回交わります。D = 0 なら重解が1つで、放物線は頂点で x 軸に接します。D < 0 なら実数解はなく、解は虚数になり、放物線は x 軸と交わりません。
y = ax² + bx + c のグラフは放物線です。頂点は x = −b / (2a) にあり、そこでの y の値は c − b² / (4a) です。同じ式は、頂点形 a(x − h)² + k や、解が r₁ と r₂ のときは因数分解した形 a(x − r₁)(x − r₂) でも書けます。解の和は常に −b/a、積は c/a です（解と係数の関係）。
免責事項: この計算ツールは、一般的な用途および教育目的のみで標準的な数学演算を行うものです。専門家による確認の代わりにはなりません — 財務申告、技術的な作業、学術提出物など、正確性が重要となる計算については、結果を必ずご自身で確認してください。
よくある質問
この計算機について
この二次方程式ソルバーは、ax² + bx + c = 0 の形のどんな方程式でも解を求めます。a、b、c には整数、小数、分数を入力できます。解は厳密な形（3 ± 2√3 や −1 ± 2i など）と小数で表示され、判別式、頂点、因数分解した形と平方完成した形、解き方の手順、解と頂点を示した放物線のグラフも表示されます。
二次方程式とは
二次方程式とは、x の最高次数が2の方程式 ax² + bx + c = 0（a は0でない）のことです。a、b、c を係数、方程式を満たす x を解と呼びます。重解を2つと数え、虚数も含めれば、二次方程式の解は必ずちょうど2つです。グラフ y = ax² + bx + c は放物線と呼ばれるU字型の曲線で、実数解は放物線が x 軸と交わる点です。
3つの解き方
- 因数分解： 左辺を積の形にします。例えば x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)。積が0になるのはどちらかの因数が0のときだけなので、x = 2 または x = 3 です。速い方法ですが、解がきれいな数のときにしか使いやすくありません。
- 平方完成： 方程式を a(x − h)² + k = 0 の形に直し、(x − h)² = −k/a を解きます。解の公式はこの方法で導かれ、同時に頂点 (h, k) も分かります。
- 解の公式： x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。無理数解や虚数解の場合も含め、すべての二次方程式に使えます。このソルバーは解の公式を使い、各ステップを表示します。
ソルバーの仕組み
まず判別式。 ソルバーは D = b² − 4ac を計算します。D > 0 なら異なる2つの実数解、D = 0 なら重解、D < 0 なら虚数解 x = −b/(2a) ± (√|D| / (2a))i になります。
厳密な答え。 a、b、c が整数、小数、分数のとき、ソルバーはそれらに同じ数を掛けて整数にします。これで解は変わりません。次に平方根を簡単にし（例：√48 = 4√3）、分数を約分します。そのため、−0.5x² + 3x + 1.5 = 0 では、6.464102 と −0.464102 だけでなく、厳密解 3 ± 2√3 が得られます。
正確な小数。 教科書の公式は、b² が 4ac よりずっと大きいと、ほぼ等しい2つの数を引き算するため、精度をほとんど失うことがあります。ソルバーは安定した形を使います。b の符号に合わせて q = −(b ± √D)/2 を求め、x₁ = q/a、x₂ = c/q とします。x² + 100,000,000x + 1 = 0 では、単純な公式では0になる小さい解 −0.00000001 を正しく求めます。
特別な場合。 a = 0 のとき、方程式は一次方程式（bx + c = 0）になるので、そのことを示して解きます。a = b = 0 のときは、解がないか、すべての x が解になります。
計算例
- x² − 5x + 6 = 0： D = 25 − 24 = 1 なので x = (5 ± 1)/2、つまり x = 2 と x = 3。因数分解：(x − 2)(x − 3)。
- 2x² − 7x + 3 = 0： D = 49 − 24 = 25 なので x = (7 ± 5)/4、つまり x = 1/2 と x = 3。因数分解：(2x − 1)(x − 3)。
- x² − 2x + 1 = 0： D = 4 − 4 = 0 なので重解 x = 1。放物線は頂点 (1, 0) で x 軸に接します。
- x² + 2x + 5 = 0： D = 4 − 20 = −16 なので実数解はありません。解は x = −1 ± 2i で、放物線は x 軸より上にあり、最も低い点は (−1, 4) です。
- x² − x − 1 = 0： D = 5 なので x = (1 ± √5)/2。正の解 1.618034 は黄金比です。
身近な二次方程式
- 物体の投げ上げ： 高さ1.5 m から秒速20 m で真上に投げたボールの、t 秒後の高さは h(t) = −4.9t² + 20t + 1.5 メートルです。h(t) = 0 を解くと t ≈ 4.16 秒で、これが着地の時刻です（もう一方の解の約 −0.07 秒はここでは意味がありません）。頂点から最高点が分かり、2.04 秒後に約21.9 m です。
- 面積： 縦が横より3 m 長く、面積が40 m² の庭があります。横を x とすると x(x + 3) = 40、つまり x² + 3x − 40 = 0。解は5と −8 で、長さは負にならないので、庭は5 m × 8 m です。
- 利益： x 個売ったときの利益が P(x) = −2x² + 120x − 1,000 なら、損益分岐点は解の x = 10 と x = 50 です。頂点から、x = 30 のとき利益が最大の P = 800 になることが分かります。
- 工学と物理： 制動距離、レンズや鏡の式、電気回路などでも二次方程式がよく出てきます。
- 厳密解と小数の解 — 解を分数、簡単にした平方根、虚数（(−1 ± √19)/3 や −1 ± 2i など）で表示し、小数の値も並べて示します。
- 判別式と解の種類 — b² − 4ac を計算し、2つの実数解、重解、2つの虚数解のどれかを説明します。
- 手順付きの解き方 — 入力した数を当てはめた解の公式の各ステップを表示します。
- 頂点とさまざまな形 — 頂点、対称軸、y切片、因数分解した形、平方完成した形、解の和と積を表示します。
- インタラクティブなグラフ — 解と頂点を示した放物線を描きます。グラフの上にカーソルを置くと、各点の値が読めます。