一次方程式ソルバー
一次方程式を解き、一次式を簡単にします。連立方程式をガウス・ジョルダンの消去法、代入法、クラメルの公式で解き、線形の連立微分方程式 x′ = Ax も解きます。正確な分数と途中式つき。
ソルバーの背後にある数学
未知数が1つの一次方程式は、必ず ax = b の形に変形できます。a ≠ 0 なら、解は x = b/a ただ1つです。a = 0 なら方程式は 0 = b となり、b = 0 のときはすべての x で成り立ち（恒等式）、b ≠ 0 のときはどの x でも成り立ちません（矛盾）。このソルバーは正確な分数で計算するので、1/3 は 1/3 のままで、0.333333 に丸められることはありません。
連立方程式を Ax = b と書きます。ガウス・ジョルダンの消去法は3つの行基本変形を使います：2つの行を入れかえる、行を 0 でない数倍する、ある行に別の行の定数倍を加える。どれも解の集合を変えません。ルーシェ・カペリの定理により、連立方程式が解をもつのは rank(A) = rank([A | b]) のときに限り、解がただ1つなのはこの階数が未知数の個数に等しいときに限ります。A が正方で det(A) ≠ 0 なら、代入法とクラメルの公式 xᵢ = det(Aᵢ)/det(A) も同じ答えになります。
定数の 2 × 2 行列 A について X′ = AX を考え、X = e^(λt)v とおきます。これが解になるのは Av = λv のときに限るので、λ は λ² − (tr A)λ + det A = 0 の根です。異なる2つの実固有値なら c₁e^(λ₁t)v₁ + c₂e^(λ₂t)v₂。複素固有値 α ± βi なら e^(αt)cos βt と e^(αt)sin βt を含む解になります。固有ベクトルが1つしかない重複固有値では t·e^(λt) の項が加わります。トレース、行列式、判別式の符号で、原点が結節点、鞍点、渦状点、渦心点のどれになるかが決まります。
免責事項: この計算ツールは、一般的な用途および教育目的のみで標準的な数学演算を行うものです。専門家による確認の代わりにはなりません — 財務申告、技術的な作業、学術提出物など、正確性が重要となる計算については、結果を必ずご自身で確認してください。
よくある質問
この計算機について
この一次方程式ソルバーは3種類の問題を扱います。1つの一次方程式を解く、または選んだ未知数について解き、一次式を簡単にします。最大8個の方程式と8個の未知数の連立一次方程式を、ガウス・ジョルダンの消去法、代入法、クラメルの公式で解きます。また、2 × 2 行列 A の線形連立微分方程式 x′ = Ax の解も求めます。計算はすべて正確な分数で行い、どの答えにも途中式がつきます。
一次方程式とは
各未知数が1乗でしか現れず、数とだけ掛けられている方程式を一次方程式（線形方程式）といいます。3x + 2y = 7 や x/2 − 1 = 4(x + 3) は一次ですが、x² = 4、xy = 6、1/x = 2 は一次ではありません。未知数が n 個の一次方程式は、必ず a₁x₁ + a₂x₂ + … + aₙxₙ = b の形に書けます。未知数が1つなら ax = b です。未知数が2つならグラフは直線になり、これが「線形」という名前の由来です。
一次方程式の解き方
- かっこを外し、各辺の同類項をまとめる。
- 未知数の項を一方の辺に、数をもう一方の辺に移項する。両辺に同じものを足したり引いたりしても、解は変わりません。
- 両辺を未知数の係数で割る。
- 求めた値を元の方程式に代入して検算する。
たとえば 3(x − 2) + 5 = 2x − 7 は 3x − 1 = 2x − 7 となり、x = −6 です。検算：3(−6 − 2) + 5 = −19、2(−6) − 7 = −19。
未知数が消えてしまう場合は2通りあります。2(x + 1) = 2x + 5 は 2 = 5 となり決して成り立たないので、解はありません。2(x + 1) = 2x + 2 は 2 = 2 となり常に成り立つので、すべての実数が解です。
4(2a − 1) − 3(a + 2) のように = のない式を入力すると、5a − 10 に簡単にし、0 になる値（a = 2）も示します。2x + 3y = 12 のような未知数2つの方程式は、どちらについても解けます。y について解くと y = 4 − 2x/3 で、傾き −2/3、y 軸と 4 で交わる直線です。
連立一次方程式
連立一次方程式とは、すべてが同時に成り立たなければならない一次方程式の組です。解とは、すべての方程式を成り立たせる各未知数の値のことです。結果は3通りしかありません：解がただ1つ、解なし、解が無数。未知数が2つならグラフで分かります。2本の直線が1点で交わるか、平行か、同じ直線かです。
ガウス・ジョルダンの消去法
連立方程式を拡大係数行列 [A | b] で表し、行基本変形で簡約階段形にします。各手順は変形後の行列とともに表示されます。そのあと階数で場合が決まります（ルーシェ・カペリの定理）。rank(A) < rank([A | b]) なら、ある行が 0 = c（c ≠ 0）となり解はありません。rank(A) = rank([A | b]) = n（未知数の個数）なら解はただ1つです。それ以外では n − rank(A) 個の未知数が自由で、ほかの未知数はそれらを使って表されます。
代入法
1つの方程式をある未知数について解き、その式をほかの方程式に代入します。未知数が1つになるまでくり返し、最後に逆にたどって代入します。このソルバーは、できるだけ係数が 1 か −1 の未知数を選びます。そのほうが分数が小さくなるからです。x + y = 10、x − y = 2 なら、1つめの式から x = 10 − y。よって (10 − y) − y = 2 となり、y = 4、x = 6 です。
クラメルの公式
det(A) ≠ 0 の正方な連立方程式では、各未知数は xᵢ = det(Aᵢ)/det(A) です。ここで Aᵢ は A の第 i 列を b に置きかえた行列です。公式として明示的ですが、大きな連立方程式では消去法よりはるかに多くの計算が必要です。主に 2 × 2 や 3 × 3 で役立ちます。
線形連立微分方程式
3つめのタブは x′ = ax + by、y′ = cx + dy（まとめて X′ = AX）を固有値の方法で解きます。固有値は特性方程式 λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0 の根です。
- 異なる2つの実固有値 λ₁、λ₂ と固有ベクトル v₁、v₂ からは X(t) = c₁e^(λ₁t)v₁ + c₂e^(λ₂t)v₂。
- 固有ベクトルが1つ v しかない重複固有値 λ からは X(t) = c₁e^(λt)v + c₂e^(λt)(tv + w)。ここで (A − λI)w = v。
- 複素固有値 α ± βi と固有ベクトル p + iq からは X(t) = c₁e^(αt)(p cos βt − q sin βt) + c₂e^(αt)(p sin βt + q cos βt)。
x(0) と y(0) を入力すると、c₁ と c₂ を求めて x(t) と y(t) を書き出します。原点の平衡点の型（鞍点、結節点、渦状点、渦心点）も示し、相図を描きます。たとえば A = [1 2; 2 1] の固有値は 3 と −1、固有ベクトルは (1, 1) と (1, −1) です。x(0) = 1、y(0) = 0 なら、解は x(t) = (1/2)e^(3t) + (1/2)e^(−t)、y(t) = (1/2)e^(3t) − (1/2)e^(−t) です。
一次方程式が使われる場面
- 値段と混合：りんご3個となし2個で 4.10、りんご1個となし4個で 4.70 のとき、3a + 2p = 4.10、a + 4p = 4.70 を解くと p = 1.00、a = 0.70。
- 損益分岐点：費用 500 + 12x と売上 32x が等しくなるのは 20x = 500、つまり x = 25 個のとき。
- 電気回路：キルヒホッフの法則から、各ループと各接続点ごとに一次方程式が1つ得られます。連立方程式を解くと電流が分かります。
- 互いに影響し合う変化：つながった2つの塩水タンク、平衡点の近くで影響し合う2つの個体群、ばねにつけたおもりは、どれも X′ = AX の形の連立方程式になります。
- 正確な分数 — 計算はすべて正確なので、x = 7/3 のような答えも正確なまま、小数の値と並べて表示します。
- 連立方程式の3つの解法 — 最大8個の方程式と8個の未知数の連立方程式を、ガウス・ジョルダンの消去法、代入法、クラメルの公式で解き、すべての手順を示します。
- すべての場合に対応 — 解がただ1つのときはその解を、解がないときはそのことを示し、解が無数のときは自由な未知数を使った一般解を示します。階数も表示します。
- 式と直線 — 一次式を簡単にし、方程式を任意の未知数について解き、未知数2つの方程式の傾き、切片、グラフを示します。
- 微分方程式系 x′ = Ax — 固有値、固有ベクトル、一般解、初期値に対する解、平衡点の型、相図を示します。