平方根計算機

この平方根計算機は、どんな数の平方根も2つの形で求めます。√72 = 6√2 のような厳密な簡単な形と、小数点以下最大100桁の小数です。分数（√(8/3) = 2√6/3）、小数（√0.25 = 1/2）、負の数（√−12 = 2i√3）にも対応しています。各答えについて、手順、2つの平方根、平方数かどうか、前後の平方数、2乗して確かめる検算も表示します。

平方根とは

数 x の平方根とは、2乗すると x になる数です。7 × 7 = 49 なので √49 = 7 です。正の数には正と負の2つの平方根（7 と −7）があり、記号 √ は常に正のほう（主平方根）を表します。平方数とは、平方根も整数になる整数のことで、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、144 などがあります。

計算の仕組み

根号を簡単にする。 数を素因数分解し、同じ素数の組を根号の外に出します。72 = 2³ × 3² なので、2 × 2 と 3 × 3 の組がそれぞれ 2 と 3 として外に出て、2 が1つ中に残ります：√72 = 2 × 3 × √2 = 6√2。根号の中の数が1以外の平方数で割り切れなければ、最も簡単な形です。

分数と小数。 小数はまず分数で表します（2.25 = 9/4）。次に √(a/b) = √a / √b とします。分母が平方数でないときは、分子と分母にその平方根を掛けて、分母に根号が残らないようにします。これを有理化といいます：√(8/3) = √8 / √3 = 2√2 / √3 = 2√6/3。

負の数。 2乗して負になる実数はないので、負の数には実数の平方根がありません。平方根は虚数になります。計算機は √−1 = i を外に出します：√−12 = i × √12 = 2i√3。(2i√3)² = 4 × i² × 3 = −12 だからです。

高い精度。 小数の値は、16桁ほどしか保持しない通常の浮動小数点数では計算していません。x × 10²ᵈ の整数の平方根を正確な整数演算で求めるので、最大100桁のどの桁も正しく、最後の桁は四捨五入されます。例えば、小数点以下10桁で √2 = 1.4142135624 です。

計算例

• √72： 72 = 2³ × 3² なので √72 = 6√2 ≈ 8.485281374。検算：(6√2)² = 36 × 2 = 72。64 < 72 < 81 なので、8 と 9 の間にあります。
• √2025： 2025 = 3⁴ × 5² なので √2025 = 3² × 5 = 45。平方数です。
• √(8/3)： = 2√6/3 ≈ 1.632993。検算：(2√6/3)² = 4 × 6 / 9 = 8/3。
• √0.25： 0.25 = 1/4 なので √0.25 = 1/2 = 0.5。
• √−12： = 2i√3 ≈ 3.464102i。2つの平方根は ±2i√3 です。

バビロニアの方法

計算機やコンピュータは、約4000年前からある方法で平方根を求めています。予想値 g から始め、g と x/g の平均で置き換えることをくり返します。√72 で g = 8 から始めると、次の値は (8 + 72/8) / 2 = 8.5、次に 8.485294、次に 8.4852813742 です。4回で、コンピュータがふつう保持する約16桁がすべて正しくなります。平方数でない数ではこの表が表示されるので、予想値がどれほど速く近づくか確かめられます。

身近な平方根

• 面積から1辺の長さ： 面積 50 m² の正方形の部屋の1辺は √50 = 5√2 ≈ 7.07 m です。
• 対角線： 三平方の定理により、幅 0.9 m、高さ 2.0 m のドアの対角線は √(0.9² + 2.0²) = √4.81 ≈ 2.19 m です。長いテーブルを斜めにして通せるかが分かります。
• 物の落下： 20 m の高さから落とした物が地面に着くまでの時間は t = √(2h/g) = √(2 × 20 / 9.81) ≈ 2.02 秒です。
• 統計： 標準偏差は分散の平方根です。分散が16なら標準偏差は √16 = 4 です。

このツールは平方根専用です。立方根やほかの累乗根（∛27 や 81 の4乗根など）は、数学カテゴリの累乗根計算機を使ってください。