Gleichungssysteme lösen
Lösen Sie Gleichungssysteme Schritt für Schritt mit dem Additions- oder Einsetzungsverfahren. Lineare Systeme mit bis zu 6 Unbekannten und nichtlineare Systeme mit x², y² und xy, mit exakten Ergebnissen, Probe und Graph.
So löst man Gleichungssysteme
Zwei Gleichungen so mit Zahlen multiplizieren, dass eine Unbekannte entgegengesetzte (oder gleiche) Koeffizienten hat, und sie dann addieren (oder subtrahieren). Diese Unbekannte fällt weg. Das wiederholen, bis eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig ist, diese lösen und rückwärts einsetzen. Bei 5x + 3y = 7 und 3x − 5y = −23 ergibt 3·(1) − 5·(2) die Gleichung 34y = 136, also y = 4, und dann liefert 3x − 20 = −23 den Wert x = −1.
Eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen und das Ergebnis in die anderen Gleichungen einsetzen. Das ist der natürliche Weg bei nichtlinearen Systemen, wenn eine Gleichung linear ist: Aus x + y = 7 folgt y = 7 − x, und x² + y² = 25 wird zu x² + (7 − x)² = 25, einer quadratischen Gleichung mit den Lösungen x = 3 und x = 4.
Ein lineares System hat genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele. Zwei Gleichungen vom Grad m und n mit zwei Unbekannten haben höchstens m·n gemeinsame Lösungen, außer sie haben einen gemeinsamen Faktor (Satz von Bézout). Eine Gerade und ein Kreis schneiden sich also höchstens zweimal, zwei Kegelschnitte höchstens viermal. Im Graphen ist jede reelle Lösung ein Schnittpunkt der Kurven.
Haftungsausschluss: Dieser Rechner führt Standard-Rechenoperationen ausschließlich für allgemeine und schulische Zwecke aus. Wir ersetzen keine fachliche Prüfung — bei Berechnungen, bei denen Genauigkeit entscheidend ist, etwa bei Steuererklärungen, technischen Arbeiten oder wissenschaftlichen Abgaben, überprüfen Sie das Ergebnis bitte unabhängig.
Häufig gestellte Fragen
Über diesen Rechner
Dieser Rechner für Gleichungssysteme findet die Werte der Unbekannten, die mehrere Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Er löst lineare Systeme mit bis zu 6 Gleichungen und 6 Unbekannten sowie nichtlineare Systeme aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die Quadrate und Produkte wie x², y² und xy enthalten. Geben Sie die Gleichungen zeilenweise oder durch Kommas getrennt ein und wählen Sie das Additions- oder Einsetzungsverfahren. Sie erhalten die exakten Lösungen, jeden Schritt, eine Probe und einen Graphen der Kurven mit markierten Schnittpunkten.
Was ist ein Gleichungssystem?
Ein Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten, die alle gleichzeitig gelten müssen. Eine Lösung ist ein Satz von Werten, einer für jede Unbekannte, der jede Gleichung erfüllt. Bei zwei Unbekannten ist jede Gleichung eine Gerade oder eine Kurve in der Ebene, und die Lösungen sind genau die Punkte, in denen sich alle Kurven treffen. Zum Beispiel treffen sich x + y = 10 und x − y = 2 im Punkt (6, 4).
Additionsverfahren
- Die Gleichungen mit passenden ganzen Zahlen multiplizieren, sodass eine Unbekannte in zwei Gleichungen denselben Koeffizienten hat.
- Die Gleichungen subtrahieren (oder addieren), um diese Unbekannte zu entfernen.
- Das wiederholen, bis eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig ist, und diese lösen.
- Den Wert rückwärts einsetzen, um die anderen Unbekannten zu finden.
Beispiel: 5x + 3y = 7 und 3x − 5y = −23. Die erste Gleichung mit 3 und die zweite mit 5 multiplizieren und dann subtrahieren: 34y = 136, also y = 4. Dann ergibt 3x − 5·4 = −23 den Wert x = −1. Der Rechner hält jede neue Gleichung ganzzahlig und nummeriert sie, sodass Sie sehen, welche Gleichungen kombiniert wurden.
Einsetzungsverfahren
Eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen und diesen Ausdruck in die anderen Gleichungen einsetzen. Jedes Einsetzen entfernt eine Unbekannte. Bei x + 2y = 2x − 5 und x − y = 3 liefert die zweite Gleichung x = y + 3. Eingesetzt in die erste ergibt sich (y + 3) + 2y = 2(y + 3) − 5, also y = −2 und x = 1.
Nichtlineare Systeme
Enthält eine Gleichung x², y², xy oder höhere Potenzen, ist das System nichtlinear und kann mehrere Lösungen haben. Der Rechner wählt den einfachsten von drei Wegen und sagt, welchen er benutzt hat.
- Einsetzen: Ist eine Gleichung linear in einer Unbekannten, etwa y = 2x − 1, wird sie danach aufgelöst und in die andere Gleichung eingesetzt. y = x² − 4 und y = 2x − 1 ergeben x² − 2x − 3 = 0, also x = 3 oder x = −1, und die Lösungen sind (3, 5) und (−1, −3).
- Elimination: Stimmen die Terme mit einer Unbekannten in beiden Gleichungen überein, entfernt Subtrahieren oder Addieren diese Unbekannte. Bei x² + y² = 13 und x² − y² = 5 ergibt Addieren 2x² = 18, also x = ±3 und y = ±2: vier Lösungen.
- Resultante: In den übrigen Fällen entfernt die Resultante der beiden Polynome eine Unbekannte, und es bleibt eine Polynomgleichung in der anderen Unbekannten.
Exakte Ergebnisse bleiben erhalten, wann immer es geht. Für x² + y = 5 und x² + y² = 7 sind die Lösungen x = ±√3, y = 2 und x = ±√6, y = −1. Gibt es keine reellen Lösungen, wie bei x² + y² = 4 und x + y = 5 (die Gerade verfehlt den Kreis), sagt der Rechner das.
Wie viele Lösungen kann es geben?
Ein lineares System hat genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele. Zwei Gleichungen vom Grad m und n mit zwei Unbekannten haben höchstens m × n gemeinsame Lösungen, außer sie haben einen gemeinsamen Faktor (Satz von Bézout). Eine Gerade und eine Parabel schneiden sich also höchstens zweimal, zwei Kreise oder andere Kegelschnitte höchstens viermal. Ist eine Gleichung ein Vielfaches der anderen oder haben sie einen gemeinsamen Faktor, gibt es unendlich viele Lösungen.
Wo Gleichungssysteme vorkommen
- Preise: 2 Kaffee und 3 Muffins kosten 13, und 4 Kaffee und 1 Muffin kosten 11. Also 2c + 3m = 13 und 4c + m = 11, woraus c = 2 und m = 3 folgt.
- Geometrie: Ein Rechteck mit Umfang 34 und Fläche 60 hat Seiten mit x + y = 17 und xy = 60, die Seiten sind also 5 und 12.
- Naturwissenschaft und Technik: Ströme in Schaltungen, Kräfte in einem Fachwerk und ausgeglichene chemische Gleichungen führen auf lineare Gleichungssysteme.
- Schnittpunkte: Die Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis oder zweier gekrümmter Bahnen sind die Lösungen eines nichtlinearen Systems.
- Lineare und nichtlineare Systeme — Löst lineare Systeme mit bis zu 6 Gleichungen und 6 Unbekannten und nichtlineare Systeme aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten mit Termen wie x², y² und xy.
- Additions- oder Einsetzungsverfahren — Sie wählen das Verfahren. Das Additionsverfahren kombiniert Gleichungen mit ganzzahligen Faktoren und nummeriert jede neue Gleichung. Das Einsetzungsverfahren löst nach einer Unbekannten nach der anderen auf.
- Exakte Lösungen — Ergebnisse erscheinen als ganze Zahlen, Brüche oder Wurzeln wie √3, mit Dezimalwerten daneben.
- Alle Fälle — Zeigt, wenn ein System keine Lösung, keine reelle Lösung oder unendlich viele Lösungen hat, und gibt die allgemeine Lösung mit den freien Unbekannten an.
- Graph und Probe — Zeichnet jede Gleichung als Gerade oder Kurve mit markierten Schnittpunkten und setzt jede Lösung in jede Gleichung ein.