Quadratische Gleichungen lösen
Lösen Sie ax² + bx + c = 0 Schritt für Schritt. Mit exakten und dezimalen Lösungen, auch komplexen, dazu Diskriminante, Scheitelpunkt, faktorisierte Form und Graph.
So löst man eine quadratische Gleichung
Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0, wobei a nicht 0 ist. Ihre Lösungen sind x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Das ± liefert zwei Ergebnisse: eines mit + und eines mit −. Zum Beispiel hat x² − 5x + 6 = 0 die Werte a = 1, b = −5, c = 6, also x = (5 ± √1) / 2, und damit x = 3 und x = 2.
Der Teil unter der Wurzel, D = b² − 4ac, zeigt schon vorher, welche Art von Lösungen es gibt. Ist D > 0, gibt es zwei reelle Lösungen und die Parabel schneidet die x-Achse zweimal. Ist D = 0, gibt es eine doppelte Lösung und die Parabel berührt die x-Achse im Scheitelpunkt. Ist D < 0, gibt es keine reellen Lösungen; die Lösungen sind komplexe Zahlen und die Parabel trifft die x-Achse nie.
Der Graph von y = ax² + bx + c ist eine Parabel. Ihr Scheitelpunkt liegt bei x = −b / (2a), und der y-Wert dort ist c − b² / (4a). Dieselbe Gleichung lässt sich in Scheitelpunktform a(x − h)² + k schreiben oder, wenn die Lösungen r₁ und r₂ sind, in faktorisierter Form a(x − r₁)(x − r₂). Die Lösungen ergeben addiert immer −b/a und multipliziert c/a (Satz von Vieta).
Haftungsausschluss: Dieser Rechner führt Standard-Rechenoperationen ausschließlich für allgemeine und schulische Zwecke aus. Wir ersetzen keine fachliche Prüfung — bei Berechnungen, bei denen Genauigkeit entscheidend ist, etwa bei Steuererklärungen, technischen Arbeiten oder wissenschaftlichen Abgaben, überprüfen Sie das Ergebnis bitte unabhängig.
Häufig gestellte Fragen
Über diesen Rechner
Dieser Rechner für quadratische Gleichungen findet die Lösungen jeder Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Geben Sie a, b und c als ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche ein. Sie erhalten die Lösungen in exakter Form (zum Beispiel 3 ± 2√3 oder −1 ± 2i) und als Dezimalzahlen, dazu die Diskriminante, den Scheitelpunkt, die faktorisierte Form und die Scheitelpunktform, einen Lösungsweg und einen Graphen der Parabel mit markierten Nullstellen und Scheitelpunkt.
Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die höchste Potenz von x gleich 2 ist: ax² + bx + c = 0, wobei a nicht 0 ist. Die Zahlen a, b und c heißen Koeffizienten, die Lösungen heißen auch Nullstellen. Eine quadratische Gleichung hat immer genau zwei Lösungen, wenn man eine doppelte Lösung zweimal zählt und komplexe Zahlen zulässt. Ihr Graph y = ax² + bx + c ist eine U-förmige Kurve, die Parabel. Die reellen Lösungen sind die Stellen, an denen die Parabel die x-Achse schneidet.
Drei Lösungswege
- Faktorisieren: Die linke Seite als Produkt schreiben, zum Beispiel x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Ein Produkt ist nur 0, wenn ein Faktor 0 ist, also x = 2 oder x = 3. Das geht schnell, klappt aber nur gut, wenn die Lösungen glatte Zahlen sind.
- Quadratische Ergänzung: Die Gleichung als a(x − h)² + k = 0 schreiben und dann (x − h)² = −k/a lösen. So wird die Lösungsformel hergeleitet, und man erhält gleichzeitig den Scheitelpunkt (h, k).
- Die Lösungsformel (Mitternachtsformel): x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Sie funktioniert für jede quadratische Gleichung, auch bei irrationalen oder komplexen Lösungen. Dieser Rechner nutzt sie und zeigt jeden Schritt.
So arbeitet der Rechner
Zuerst die Diskriminante. Der Rechner berechnet D = b² − 4ac. Ist D > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, ist D = 0, eine doppelte Lösung, und ist D < 0, sind die Lösungen komplex: x = −b/(2a) ± (√|D| / (2a))i.
Exakte Ergebnisse. Sind a, b und c ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche, multipliziert der Rechner sie mit einer gemeinsamen Zahl, sodass sie ganzzahlig werden. Die Lösungen ändern sich dadurch nicht. Dann vereinfacht er die Wurzel, zum Beispiel √48 = 4√3, und kürzt den Bruch. So liefert −0,5x² + 3x + 1,5 = 0 die exakten Lösungen 3 ± 2√3 statt nur 6,464102 und −0,464102.
Genaue Dezimalzahlen. Die Lehrbuchformel kann fast ihre ganze Genauigkeit verlieren, wenn b² viel größer als 4ac ist, weil sie zwei fast gleiche Zahlen voneinander abzieht. Der Rechner nutzt stattdessen die stabile Form: Er berechnet q = −(b ± √D)/2 mit dem Vorzeichen von b und dann x₁ = q/a und x₂ = c/q. Für x² + 100.000.000x + 1 = 0 liefert das die kleine Lösung −0,00000001 korrekt, während die einfache Formel 0 ergibt.
Sonderfälle. Ist a = 0, ist die Gleichung linear (bx + c = 0). Der Rechner weist darauf hin und löst sie. Ist a = b = 0, hat die Gleichung entweder keine Lösung oder jedes x ist eine Lösung.
Beispiele
- x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1, also x = (5 ± 1)/2, und damit x = 2 und x = 3. Faktorisiert: (x − 2)(x − 3).
- 2x² − 7x + 3 = 0: D = 49 − 24 = 25, also x = (7 ± 5)/4, und damit x = 1/2 und x = 3. Faktorisiert: (2x − 1)(x − 3).
- x² − 2x + 1 = 0: D = 4 − 4 = 0, also gibt es eine doppelte Lösung, x = 1. Die Parabel berührt die x-Achse im Scheitelpunkt (1, 0).
- x² + 2x + 5 = 0: D = 4 − 20 = −16, also gibt es keine reellen Lösungen. Die Lösungen sind x = −1 ± 2i, und die Parabel bleibt über der x-Achse mit dem tiefsten Punkt bei (−1, 4).
- x² − x − 1 = 0: D = 5, also x = (1 ± √5)/2. Die positive Lösung, 1,618034, ist der Goldene Schnitt.
Quadratische Gleichungen im Alltag
- Wurfbewegung: Ein Ball wird mit 20 m/s aus 1,5 m Höhe nach oben geworfen. Seine Höhe nach t Sekunden ist h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5 Meter. Aus h(t) = 0 folgt t ≈ 4,16 s, der Zeitpunkt der Landung (die andere Lösung, etwa −0,07 s, hat hier keine Bedeutung). Der Scheitelpunkt zeigt die größte Höhe: etwa 21,9 m nach 2,04 s.
- Fläche: Ein Garten ist 3 m länger als breit und hat eine Fläche von 40 m². Ist x die Breite, gilt x(x + 3) = 40, also x² + 3x − 40 = 0. Die Lösungen sind 5 und −8. Eine Breite kann nicht negativ sein, also misst der Garten 5 m × 8 m.
- Gewinn: Beträgt der Gewinn P(x) = −2x² + 120x − 1.000 bei x Stück, sind die Gewinnschwellen die Lösungen x = 10 und x = 50. Der Scheitelpunkt zeigt, dass der Gewinn bei x = 30 am größten ist, mit P = 800.
- Technik und Physik: Bremswege, Linsen- und Spiegelgleichungen und elektrische Schaltungen führen oft zu quadratischen Gleichungen.
- Exakte und dezimale Lösungen — Zeigt Lösungen als Brüche, vereinfachte Wurzeln oder komplexe Zahlen (etwa (−1 ± √19)/3 oder −1 ± 2i), mit den Dezimalwerten daneben.
- Diskriminante und Art der Lösungen — Berechnet b² − 4ac und erklärt, ob es zwei reelle, eine doppelte oder zwei komplexe Lösungen gibt.
- Lösungsweg Schritt für Schritt — Zeigt jeden Schritt der Lösungsformel mit Ihren Zahlen.
- Scheitelpunkt und Formen — Gibt Scheitelpunkt, Symmetrieachse, y-Achsenabschnitt, faktorisierte Form, Scheitelpunktform sowie Summe und Produkt der Lösungen an.
- Interaktiver Graph — Zeichnet die Parabel mit markierten Nullstellen und Scheitelpunkt. Fahren Sie über den Graphen, um jeden Punkt abzulesen.