累乗計算機
負の指数、小数の指数、分数の指数を含むあらゆる累乗 bⁿ を計算します。厳密な結果、最大100桁の有効数字、計算の手順を表示し、底や指数を求めることもできます。
指数法則
| 法則 | 式 | 例 |
|---|---|---|
| 同じ底の積 | bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| 同じ底の商 | bᵐ / bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25 |
| 累乗の累乗 | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| 積の累乗 | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1000 |
| 分数の累乗 | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
| 0 乗 | b⁰ = 1 (b ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| 負の指数 | b⁻ⁿ = 1/bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| 分数の指数 | bp/q = q√(bᵖ) | 82/3 = ∛(8²) = 4 |
bⁿ では、底 b を n 回掛け合わせます：2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32。上の法則は、これを n = 0、負の n、分数に広げたもので、どの指数でも bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ が成り立つようにしています。2^√2 のような無理数の指数では、bⁿ = e^(n · ln b) と定義します。
1 つ目：−3² = −9 ですが、(−3)² = 9 です。指数はマイナス記号より先に計算され、かっこがなければ 3 だけにかかります。2 つ目：累乗の塔は上から計算します：2^3^2 = 2^(3²) = 2⁹ = 512 で、(2³)² = 64 ではありません。
(−2)³ = −8 なので (−8)^(1/3) = −2 です。負の数の奇数乗根は実数になります。偶数乗根はなりません：(−4)^(1/2) に実数の値はありません。分数は必ず先に約分してください。6 は偶数ですが、(−8)^(2/6) と (−8)^(1/3) は同じ数 −2 です。
免責事項: この計算ツールは、一般的な用途および教育目的のみで標準的な数学演算を行うものです。専門家による確認の代わりにはなりません — 財務申告、技術的な作業、学術提出物など、正確性が重要となる計算については、結果を必ずご自身で確認してください。
よくある質問
この計算機について
この累乗計算機は、bⁿ = x の3つの部分のどれでも求められます。「累乗」モードでは底 b を指数 n で累乗します。ほかの2つのモードでは、底（n 乗根）または指数（対数）を求めます。底と指数には、整数、小数、分数、負の数が使えます。厳密な答えがあるときはそれを表示します（例：2¹⁰⁰ の全桁、8^(2/3) = 4、12^(3/2) = 24√3）。さらに、最大100桁の有効数字の小数の値と計算の手順も表示します。
指数の意味
整数 n に対して、bⁿ は b を n 個掛けた積です：3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81。b を底、n を指数といいます。ほかの場合はすべて、bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ という1つの法則から決まります。この法則が n = 0 でも成り立つには b⁰ = 1 でなければなりません。負の指数では b⁻ⁿ = 1/bⁿ になります。分数では (b^(1/q))^q = b なので、b^(1/q) は b の q 乗根、b^(p/q) は bᵖ の q 乗根です。π のような無理数の指数では、b > 0 のとき bⁿ = e^(n · ln b) と定義します。
計算の仕組み
整数の指数。 20,000桁までの結果は整数演算で厳密に計算するので、2¹⁰⁰ = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376 を全桁表示します。計算には2乗のくり返しを使います。100 = 64 + 32 + 4 なので 2¹⁰⁰ = 2⁶⁴ × 2³² × 2⁴ となり、掛け算は99回ではなく8回で済みます。2^1,000,000 のようなもっと大きな結果は、桁数と、10²⁰ を法とする計算で求めた厳密な下20桁とともに、科学的表記で表示します。
分数と小数の指数。 小数の指数はまず既約分数に直します（1.5 = 3/2）。次に b^(p/q) は bᵖ の q 乗根なので、q 乗の因数を根号の外に出して簡単にします：12^(3/2) = √1728 = 24√3（1728 = 24² × 3 だから）。小数の値は e^(n · ln b) から求めます。対数と指数関数は選んだ精度より多くの予備の桁で計算し、表示する最後の桁は四捨五入します。
負の底。 (−2)⁴ = 16、(−2)³ = −8 です。偶数乗ではマイナスが消え、奇数乗では残ります。分数の指数では、代数の教科書と同じく実数の累乗根を使います。約分した分数の分母が奇数なら、根は実数です：(−8)^(1/3) = −2、(−8)^(2/3) = 4。分母が偶数なら実数の答えはないので、複素数の主値を表示します：(−4)^(1/2) = 2i。
底や指数を求める。 bⁿ = x を b について解くには、両辺を 1/n 乗します：b = x^(1/n)。指数が偶数なら実数解は2つあります（例：b⁴ = 81 なら b = ±3）。n について解くには対数をとります：n = ln x / ln b。n が分数のときは厳密に求め、整数演算で確かめます。たとえば 8^(2/3) = 4 なので log₈ 4 = 2/3 です。そうでないときは、選んだ有効数字の桁数で n を表示します（例：log₂ 10 ≈ 3.32192809488736）。
計算例
- 2¹⁰ = 1,024： 2 を10個掛けたもの。1キビバイトが1,024バイトなのはこのためです。
- 5⁻³ = 1/125 = 0.008： 負の指数は逆数になります。
- 27^(2/3) = 9： 27 の立方根は 3 で、3² = 9 です。
- 2^0.5 = √2 ≈ 1.41421356237310： 指数 1/2 は平方根です。
- 1.05¹⁰ ≈ 1.62889462677744： 年5%で10年間増えるお金は、合計で約62.9%増えます。
- b³ = −125 なら b = −5、2ⁿ = 1,000,000 なら n ≈ 19.9315685693242 です。
指数が使われる場面
- 複利： 金額 P は年利 r で t 年後に P(1 + r)ᵗ になります。
- 科学的表記： とても大きな数や小さな数は10の累乗で書きます。アボガドロ数は 6.022 × 10²³ です。
- コンピューター： n ビットで 2ⁿ 通りの値を表せるので、32ビットでは 2³² = 4,294,967,296 通りです。
- 増加と減衰： 1期間ごとに2倍になる集団は 2ᵗ のように増え、放射性物質は時間 t の後に質量の (1/2)^(t/h) が残ります（h は半減期）。
累乗根だけを求めたいときは、このカテゴリーの「平方根計算機」と「平方根電卓」（任意の n 乗根に対応）で、根号を簡単にする手順をくわしく見られます。
- どの部分でも求められる — bⁿ = x を累乗、底、指数のどれについても解きます。
- 厳密な結果 — 20,000桁までの整数の結果を全桁表示し、1/125 のような分数や 24√3 のような簡単にした根号も表示します。
- 最大100桁の有効数字 — 高精度の整数演算で小数の値を計算するので、1.0001¹⁰⁰⁰⁰ でも表示するすべての桁が正しくなります。
- 負の底と分数の指数 — 分母が奇数なら (−8)^(1/3) = −2 のように実数の累乗根を使い、実数の答えがないときは複素数の主値を表示します。
- くわしい計算の手順 — 2乗のくり返しから 1.5 を 3/2 に直すことまで、使った指数法則を示します。