Risolutore di sistemi di equazioni
Risolvi sistemi di equazioni passo per passo con il metodo di riduzione o di sostituzione. Sistemi lineari fino a 6 incognite e sistemi non lineari con x², y² e xy, con soluzioni esatte, verifica e grafico.
Come si risolvono i sistemi di equazioni
Si moltiplicano due equazioni per numeri scelti in modo che un'incognita abbia coefficienti opposti (o uguali), poi si sommano (o si sottraggono). Quell'incognita sparisce. Si ripete finché resta un'equazione in una incognita, la si risolve e si sostituisce all'indietro. Per 5x + 3y = 7 e 3x − 5y = −23, 3·(1) − 5·(2) dà 34y = 136, quindi y = 4, e poi 3x − 20 = −23 dà x = −1.
Si ricava un'incognita da un'equazione e la si sostituisce nelle altre. È il metodo naturale per i sistemi non lineari quando un'equazione è lineare: da x + y = 7 si ha y = 7 − x, e x² + y² = 25 diventa x² + (7 − x)² = 25, un'equazione di secondo grado con radici x = 3 e x = 4.
Un sistema lineare ha esattamente una soluzione, nessuna oppure infinite. Due equazioni di grado m e n in due incognite hanno al massimo m·n soluzioni comuni, a meno che abbiano un fattore comune (teorema di Bézout). Quindi una retta e una circonferenza si incontrano al massimo due volte, e due coniche al massimo quattro. Nel grafico ogni soluzione reale è un punto di intersezione delle curve.
Avvertenza legale: Questo calcolatore esegue operazioni matematiche standard solo per uso generale ed educativo. Non sostituisce una verifica professionale — per calcoli in cui la precisione è fondamentale, come dichiarazioni finanziarie, lavori di ingegneria o consegne accademiche, verifica il risultato in modo indipendente.
Domande frequenti
Informazioni su questa calcolatrice
Questo risolutore di sistemi di equazioni trova i valori delle incognite che rendono vere più equazioni nello stesso momento. Risolve sistemi lineari fino a 6 equazioni in 6 incognite, e sistemi non lineari di 2 equazioni in 2 incognite con quadrati e prodotti come x², y² e xy. Scrivi le equazioni una per riga o separate da virgole, e scegli riduzione o sostituzione. Ottieni le soluzioni esatte, ogni passaggio, una verifica e un grafico delle curve con i punti di intersezione.
Che cos'è un sistema di equazioni?
Un sistema di equazioni è formato da due o più equazioni con incognite in comune che devono essere vere tutte insieme. Una soluzione è un insieme di valori, uno per ogni incognita, che soddisfa ogni equazione. Con due incognite, ogni equazione è una retta o una curva nel piano, e le soluzioni sono esattamente i punti in cui tutte le curve si incontrano. Per esempio, x + y = 10 e x − y = 2 si incontrano in (6, 4).
Metodo di riduzione
- Moltiplicare le equazioni per numeri interi adatti, in modo che un'incognita abbia lo stesso coefficiente in due di esse.
- Sottrarre (o sommare) le equazioni per eliminare quell'incognita.
- Ripetere finché resta un'equazione in una incognita, e risolverla.
- Sostituire all'indietro il valore per trovare le altre incognite.
Esempio: 5x + 3y = 7 e 3x − 5y = −23. Si moltiplica la prima equazione per 3 e la seconda per 5, poi si sottrae: 34y = 136, quindi y = 4. Poi 3x − 5·4 = −23 dà x = −1. Il risolutore mantiene ogni nuova equazione a coefficienti interi e le dà un numero, così puoi seguire quali equazioni sono state combinate.
Metodo di sostituzione
Si ricava un'incognita da un'equazione e si sostituisce l'espressione nelle altre equazioni. Ogni sostituzione elimina un'incognita. Per x + 2y = 2x − 5 e x − y = 3, la seconda equazione dà x = y + 3. Sostituendo nella prima si ottiene (y + 3) + 2y = 2(y + 3) − 5, quindi y = −2 e x = 1.
Sistemi non lineari
Quando un'equazione contiene x², y², xy o potenze più alte, il sistema è non lineare e può avere più soluzioni. Il risolutore sceglie la più semplice di tre strade e indica quale ha usato.
- Sostituzione: se un'equazione è lineare in un'incognita, come y = 2x − 1, la si ricava e la si sostituisce nell'altra equazione. y = x² − 4 e y = 2x − 1 danno x² − 2x − 3 = 0, quindi x = 3 oppure x = −1, e le soluzioni sono (3, 5) e (−1, −3).
- Riduzione: se i termini con un'incognita sono uguali nelle due equazioni, sottrarle o sommarle la elimina. Per x² + y² = 13 e x² − y² = 5, la somma dà 2x² = 18, quindi x = ±3 e y = ±2: quattro soluzioni.
- Risultante: negli altri casi il risultante dei due polinomi elimina un'incognita e lascia un'equazione polinomiale nell'altra.
Le soluzioni esatte vengono mantenute quando possibile. Per x² + y = 5 e x² + y² = 7 le soluzioni sono x = ±√3, y = 2 e x = ±√6, y = −1. Se non ci sono soluzioni reali, come per x² + y² = 4 e x + y = 5 (la retta non tocca la circonferenza), il risolutore lo dice.
Quante soluzioni ci possono essere?
Un sistema lineare ha esattamente una soluzione, nessuna oppure infinite. Due equazioni di grado m e n in due incognite hanno al massimo m × n soluzioni comuni, a meno che abbiano un fattore comune (teorema di Bézout). Quindi una retta e una parabola si incontrano al massimo due volte, e due circonferenze o altre coniche al massimo quattro. Se un'equazione è multipla dell'altra, o hanno un fattore comune, le soluzioni sono infinite.
Dove si usano i sistemi di equazioni
- Prezzi: 2 caffè e 3 muffin costano 13, e 4 caffè e 1 muffin costano 11. Quindi 2c + 3m = 13 e 4c + m = 11, da cui c = 2 e m = 3.
- Geometria: un rettangolo con perimetro 34 e area 60 ha lati con x + y = 17 e xy = 60, quindi i lati sono 5 e 12.
- Scienza e ingegneria: le correnti in un circuito elettrico, le forze in una travatura e il bilanciamento delle equazioni chimiche portano a sistemi di equazioni lineari.
- Intersezioni: i punti comuni di una retta e di una circonferenza, o di due traiettorie curve, sono le soluzioni di un sistema non lineare.
- Sistemi lineari e non lineari — Risolve sistemi lineari fino a 6 equazioni in 6 incognite, e sistemi non lineari di 2 equazioni in 2 incognite con termini come x², y² e xy.
- Riduzione o sostituzione — Scegli tu il metodo. La riduzione combina le equazioni con moltiplicatori interi e numera ogni nuova equazione. La sostituzione ricava un'incognita alla volta.
- Soluzioni esatte — I risultati sono dati come interi, frazioni o radici come √3, con il valore decimale accanto.
- Tutti i casi — Indica quando un sistema non ha soluzioni, non ha soluzioni reali o ne ha infinite, e dà la soluzione generale in funzione delle incognite libere.
- Grafico e verifica — Disegna ogni equazione come retta o curva con i punti di intersezione, e sostituisce ogni soluzione in ogni equazione.