Risolutore di equazioni di secondo grado
Risolvi ax² + bx + c = 0 passo per passo. Soluzioni esatte e decimali, anche complesse, con discriminante, vertice, forma scomposta e grafico.
Come risolvere un'equazione di secondo grado
Un'equazione di secondo grado ha la forma ax² + bx + c = 0, con a diverso da 0. Le sue soluzioni sono x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Il ± dà due risposte: una con + e una con −. Per esempio, x² − 5x + 6 = 0 ha a = 1, b = −5, c = 6, quindi x = (5 ± √1) / 2, cioè x = 3 e x = 2.
La parte sotto radice, Δ = b² − 4ac, dice in anticipo che tipo di soluzioni aspettarsi. Se Δ > 0 ci sono due soluzioni reali e la parabola taglia l'asse x due volte. Se Δ = 0 c'è una soluzione doppia e la parabola tocca l'asse x nel vertice. Se Δ < 0 non ci sono soluzioni reali; le soluzioni sono numeri complessi e la parabola non tocca mai l'asse x.
Il grafico di y = ax² + bx + c è una parabola. Il vertice si trova in x = −b / (2a), e lì il valore di y è c − b² / (4a). La stessa equazione si può scrivere in forma canonica a(x − h)² + k oppure, se le soluzioni sono r₁ e r₂, in forma scomposta a(x − r₁)(x − r₂). La somma delle soluzioni è sempre −b/a e il prodotto è c/a.
Avvertenza legale: Questo calcolatore esegue operazioni matematiche standard solo per uso generale ed educativo. Non sostituisce una verifica professionale — per calcoli in cui la precisione è fondamentale, come dichiarazioni finanziarie, lavori di ingegneria o consegne accademiche, verifica il risultato in modo indipendente.
Domande frequenti
Informazioni su questa calcolatrice
Questo risolutore trova le soluzioni di qualsiasi equazione di secondo grado della forma ax² + bx + c = 0. Inserisci a, b e c come numeri interi, decimali o frazioni. Ottieni le soluzioni in forma esatta (come 3 ± 2√3 o −1 ± 2i) e decimale, il discriminante, il vertice, la forma scomposta e la forma canonica, la soluzione passo per passo e il grafico della parabola con soluzioni e vertice evidenziati.
Che cos'è un'equazione di secondo grado?
Un'equazione di secondo grado è un'equazione in cui la potenza più alta di x è 2: ax² + bx + c = 0, con a diverso da 0. I numeri a, b e c sono i coefficienti, e le soluzioni si chiamano anche radici. Un'equazione di questo tipo ha sempre esattamente due soluzioni, se si conta due volte una soluzione doppia e si accettano i numeri complessi. Il suo grafico, y = ax² + bx + c, è una curva a forma di U chiamata parabola. Le soluzioni reali sono i punti in cui la parabola taglia l'asse x.
Tre modi per risolverla
- Scomporre: scrivere il primo membro come prodotto, per esempio x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Un prodotto è 0 solo se un fattore è 0, quindi x = 2 o x = 3. È veloce, ma funziona bene solo quando le soluzioni sono numeri semplici.
- Completamento del quadrato: riscrivere l'equazione come a(x − h)² + k = 0 e poi risolvere (x − h)² = −k/a. È così che si ricava la formula risolutiva, e si ottiene anche il vertice (h, k).
- La formula risolutiva: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Funziona per ogni equazione di secondo grado, anche con soluzioni irrazionali o complesse. Questo strumento la usa e mostra ogni passaggio.
Come funziona il risolutore
Prima il discriminante. Lo strumento calcola Δ = b² − 4ac. Se Δ > 0 ci sono due soluzioni reali distinte, se Δ = 0 una soluzione doppia, e se Δ < 0 le soluzioni sono complesse: x = −b/(2a) ± (√|Δ| / (2a))i.
Risultati esatti. Quando a, b e c sono interi, decimali o frazioni, lo strumento li moltiplica per uno stesso numero per renderli interi, e questo non cambia le soluzioni. Poi semplifica la radice quadrata, per esempio √48 = 4√3, e riduce la frazione. Così −0,5x² + 3x + 1,5 = 0 dà le soluzioni esatte 3 ± 2√3 e non solo 6,464102 e −0,464102.
Decimali precisi. La formula dei libri può perdere quasi tutta la precisione quando b² è molto più grande di 4ac, perché sottrae due numeri quasi uguali. Lo strumento usa la forma stabile: calcola q = −(b ± √Δ)/2 con il segno di b, poi x₁ = q/a e x₂ = c/q. Per x² + 100.000.000x + 1 = 0 trova correttamente la soluzione piccola −0,00000001, mentre la formula semplice dà 0.
Casi particolari. Se a = 0, l'equazione è di primo grado (bx + c = 0): lo strumento lo segnala e la risolve. Se a = b = 0, l'equazione non ha soluzioni oppure ogni x è soluzione.
Esempi
- x² − 5x + 6 = 0: Δ = 25 − 24 = 1, quindi x = (5 ± 1)/2, cioè x = 2 e x = 3. Forma scomposta: (x − 2)(x − 3).
- 2x² − 7x + 3 = 0: Δ = 49 − 24 = 25, quindi x = (7 ± 5)/4, cioè x = 1/2 e x = 3. Forma scomposta: (2x − 1)(x − 3).
- x² − 2x + 1 = 0: Δ = 4 − 4 = 0, quindi c'è una soluzione doppia, x = 1. La parabola tocca l'asse x nel vertice (1, 0).
- x² + 2x + 5 = 0: Δ = 4 − 20 = −16, quindi non ci sono soluzioni reali. Le soluzioni sono x = −1 ± 2i, e la parabola resta sopra l'asse x con il punto più basso in (−1, 4).
- x² − x − 1 = 0: Δ = 5, quindi x = (1 ± √5)/2. La soluzione positiva, 1,618034, è la sezione aurea.
Le equazioni di secondo grado nella vita reale
- Lancio di un oggetto: una palla lanciata verso l'alto a 20 m/s da 1,5 m di altezza si trova a h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5 metri dopo t secondi. Risolvendo h(t) = 0 si ottiene t ≈ 4,16 s, il momento in cui tocca terra (l'altra soluzione, circa −0,07 s, qui non ha senso). Il vertice dà l'altezza massima: circa 21,9 m dopo 2,04 s.
- Area: un giardino è 3 m più lungo che largo e ha un'area di 40 m². Se la larghezza è x, allora x(x + 3) = 40, cioè x² + 3x − 40 = 0. Le soluzioni sono 5 e −8; una larghezza non può essere negativa, quindi il giardino misura 5 m per 8 m.
- Profitto: se il profitto è P(x) = −2x² + 120x − 1.000 per x pezzi, i punti di pareggio sono le soluzioni, x = 10 e x = 50. Il vertice mostra che il profitto massimo si ha per x = 30, con P = 800.
- Ingegneria e fisica: spazi di frenata, equazioni di lenti e specchi e circuiti elettrici portano spesso a equazioni di secondo grado.
- Soluzioni esatte e decimali — Mostra le soluzioni come frazioni, radici quadrate semplificate o numeri complessi (come (−1 ± √19)/3 o −1 ± 2i), con i valori decimali accanto.
- Discriminante e tipo di soluzioni — Calcola b² − 4ac e spiega se ci sono due soluzioni reali, una soluzione doppia o due soluzioni complesse.
- Soluzione passo per passo — Mostra ogni passaggio della formula risolutiva con i tuoi numeri.
- Vertice e altre forme — Fornisce vertice, asse di simmetria, intersezione con l'asse y, forma scomposta, forma canonica e la somma e il prodotto delle soluzioni.
- Grafico interattivo — Disegna la parabola con soluzioni e vertice evidenziati. Passa sul grafico per leggere qualsiasi punto.