Risolutore di equazioni lineari
Risolvi equazioni lineari e semplifica espressioni lineari. Risolvi sistemi di equazioni con Gauss-Jordan, sostituzione o regola di Cramer, e sistemi differenziali lineari x′ = Ax. Frazioni esatte e tutti i passaggi.
La matematica del risolutore
Un'equazione lineare in un'incognita si può sempre scrivere come ax = b. Se a ≠ 0, l'unica soluzione è x = b/a. Se a = 0, l'equazione diventa 0 = b. Vale per ogni x quando b = 0 (un'identità) e per nessun x quando b ≠ 0 (un'equazione impossibile). Il risolutore usa frazioni esatte, quindi 1/3 resta 1/3 e non viene mai arrotondato a 0,333333.
Scrivi il sistema come Ax = b. Il metodo di Gauss-Jordan usa tre operazioni sulle righe: scambiare due righe, moltiplicare una riga per un numero diverso da 0 e sommare a una riga un multiplo di un'altra. Nessuna cambia l'insieme delle soluzioni. Per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema ha soluzioni esattamente quando rg(A) = rg([A | b]), e la soluzione è unica esattamente quando questo rango è uguale al numero di incognite. La sostituzione e la regola di Cramer, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), danno lo stesso risultato quando A è quadrata e det(A) ≠ 0.
Per X′ = AX con una matrice costante A di 2 × 2, si prova X = e^(λt)v. Funziona esattamente quando Av = λv, quindi λ deve essere radice di λ² − (traccia A)λ + det A = 0. Due autovalori reali distinti danno c₁e^(λ₁t)v₁ + c₂e^(λ₂t)v₂. Autovalori complessi α ± βi danno soluzioni con e^(αt)cos βt ed e^(αt)sin βt. Un autovalore doppio con un solo autovettore aggiunge un termine con t·e^(λt). I segni di traccia, determinante e discriminante decidono se l'origine è un nodo, una sella, un fuoco o un centro.
Avvertenza legale: Questo calcolatore esegue operazioni matematiche standard solo per uso generale ed educativo. Non sostituisce una verifica professionale — per calcoli in cui la precisione è fondamentale, come dichiarazioni finanziarie, lavori di ingegneria o consegne accademiche, verifica il risultato in modo indipendente.
Domande frequenti
Informazioni su questa calcolatrice
Questo risolutore di equazioni lineari tratta tre tipi di problemi. Risolve un'equazione lineare, oppure ricava un'incognita scelta, e semplifica espressioni lineari. Risolve sistemi di equazioni lineari fino a 8 equazioni e 8 incognite, con il metodo di Gauss-Jordan, per sostituzione o con la regola di Cramer. Trova anche la soluzione di un sistema lineare di equazioni differenziali x′ = Ax per una matrice A di 2 × 2. Tutti i calcoli usano frazioni esatte, e ogni risposta ha i suoi passaggi.
Che cos'è un'equazione lineare?
Un'equazione è lineare quando ogni incognita compare solo alla prima potenza ed è moltiplicata solo per numeri. Quindi 3x + 2y = 7 e x/2 − 1 = 4(x + 3) sono lineari, ma x² = 4, xy = 6 e 1/x = 2 non lo sono. Ogni equazione lineare in n incognite si può scrivere come a₁x₁ + a₂x₂ + … + aₙxₙ = b. Con un'incognita diventa ax = b. Con due incognite il grafico è una retta, e da qui viene il nome.
Come risolvere un'equazione lineare
- Togliere le parentesi e sommare i termini simili in ogni membro.
- Portare i termini con l'incognita da una parte e i numeri dall'altra. Sommare o sottrarre la stessa quantità a entrambi i membri non cambia le soluzioni.
- Dividere entrambi i membri per il coefficiente dell'incognita.
- Fare la verifica sostituendo il risultato nell'equazione di partenza.
Per esempio, 3(x − 2) + 5 = 2x − 7 diventa 3x − 1 = 2x − 7, quindi x = −6. Verifica: 3(−6 − 2) + 5 = −19 e 2(−6) − 7 = −19.
Se l'incognita si elimina, restano due casi. 2(x + 1) = 2x + 5 si riduce a 2 = 5, che non è mai vero, quindi non ci sono soluzioni. 2(x + 1) = 2x + 2 si riduce a 2 = 2, che è sempre vero, quindi ogni numero reale è soluzione.
Se scrivi un'espressione senza segno =, per esempio 4(2a − 1) − 3(a + 2), il calcolatore la semplifica in 5a − 10 e dice dove vale 0 (a = 2). Un'equazione in due incognite come 2x + 3y = 12 si può risolvere rispetto a una qualsiasi delle due. Ricavando y si ottiene y = 4 − 2x/3: una retta con coefficiente angolare −2/3 che taglia l'asse y in 4.
Sistemi di equazioni lineari
Un sistema di equazioni lineari è un insieme di equazioni lineari che devono essere vere tutte nello stesso momento. Una soluzione è un valore per ogni incognita che rende vera ogni equazione. Ci sono solo tre risultati possibili: esattamente una soluzione, nessuna soluzione o infinite soluzioni. Con due incognite lo si vede nel grafico. Le due rette si incontrano in un punto, sono parallele o coincidono.
Metodo di Gauss-Jordan
Il calcolatore scrive il sistema come matrice completa [A | b] e applica operazioni sulle righe fino ad arrivare alla forma a scala ridotta. Ogni passaggio è mostrato con la matrice ottenuta. Poi i ranghi decidono il caso (teorema di Rouché-Capelli). Se rg(A) < rg([A | b]), una riga dice 0 = c con c ≠ 0 e non ci sono soluzioni. Se rg(A) = rg([A | b]) = n, il numero di incognite, la soluzione è unica. Altrimenti n − rg(A) incognite sono libere e le altre si scrivono in funzione di esse.
Sostituzione
Si ricava un'incognita da un'equazione, si sostituisce l'espressione nelle altre equazioni e si ripete finché resta una sola incognita. Poi si sostituisce all'indietro. Il risolutore sceglie, quando può, un'incognita con coefficiente 1 o −1, perché così le frazioni restano piccole. Per x + y = 10 e x − y = 2, la prima equazione dà x = 10 − y. Allora (10 − y) − y = 2, quindi y = 4 e x = 6.
Regola di Cramer
Per un sistema quadrato con det(A) ≠ 0, ogni incognita è xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), dove Aᵢ è A con la colonna i sostituita da b. È una formula chiusa, ma per sistemi grandi richiede molte più operazioni dell'eliminazione. È utile soprattutto per sistemi 2 × 2 e 3 × 3.
Sistemi lineari di equazioni differenziali
La terza scheda risolve x′ = ax + by, y′ = cx + dy, cioè X′ = AX, con il metodo degli autovalori. Gli autovalori sono le radici dell'equazione caratteristica λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0.
- Due autovalori reali distinti λ₁ e λ₂ con autovettori v₁ e v₂ danno X(t) = c₁e^(λ₁t)v₁ + c₂e^(λ₂t)v₂.
- Un autovalore doppio λ con un solo autovettore v dà X(t) = c₁e^(λt)v + c₂e^(λt)(tv + w), dove (A − λI)w = v.
- Autovalori complessi α ± βi con autovettore p + iq danno X(t) = c₁e^(αt)(p cos βt − q sin βt) + c₂e^(αt)(p sin βt + q cos βt).
Se inserisci x(0) e y(0), il calcolatore trova c₁ e c₂ e scrive x(t) e y(t). Indica anche il tipo di equilibrio nell'origine (sella, nodo, fuoco o centro) e disegna un ritratto di fase. Per esempio, A = [1 2; 2 1] ha autovalori 3 e −1 con autovettori (1, 1) e (1, −1). Con x(0) = 1 e y(0) = 0, la soluzione è x(t) = (1/2)e^(3t) + (1/2)e^(−t) e y(t) = (1/2)e^(3t) − (1/2)e^(−t).
Dove si usano le equazioni lineari
- Prezzi e miscele: 3 mele e 2 pere costano 4,10, e 1 mela e 4 pere costano 4,70. Il sistema 3a + 2p = 4,10, a + 4p = 4,70 dà p = 1,00 e a = 0,70.
- Punto di pareggio: con costi di 500 + 12x e ricavi di 32x, i due sono uguali quando 20x = 500, cioè con x = 25 unità.
- Circuiti elettrici: le leggi di Kirchhoff danno un'equazione lineare per ogni maglia e ogni nodo. Risolvendo il sistema si ottengono le correnti.
- Variazioni accoppiate: due serbatoi di acqua salata collegati, due popolazioni che interagiscono vicino all'equilibrio e una massa attaccata a una molla portano tutti a un sistema X′ = AX.
- Frazioni esatte — Tutti i calcoli sono esatti, quindi risultati come x = 7/3 restano esatti, con il valore decimale accanto.
- Tre metodi per i sistemi — Risolve sistemi fino a 8 equazioni e 8 incognite con Gauss-Jordan, sostituzione o regola di Cramer, e mostra ogni passaggio.
- Tutti i casi — Trova la soluzione unica, indica quando non ci sono soluzioni e dà la soluzione generale con le incognite libere quando sono infinite. Mostra anche i ranghi.
- Espressioni e rette — Semplifica espressioni lineari, ricava qualsiasi incognita e dà coefficiente angolare, intersezione e grafico di un'equazione in due incognite.
- Sistemi differenziali x′ = Ax — Dà autovalori, autovettori, soluzione generale, soluzione per valori iniziali dati, tipo di equilibrio e un ritratto di fase.