Calcolatore di radice quadrata
Trova la radice quadrata di qualsiasi numero, frazione o numero negativo. Forma semplificata come 6√2, fino a 100 decimali e i passaggi.
Come funzionano le radici quadrate
La radice quadrata di x è il numero che, moltiplicato per sé stesso, dà x. √49 = 7 perché 7 × 7 = 49. Ogni numero positivo ha due radici quadrate, una positiva e una negativa (7 e −7), ma il simbolo √ indica quella positiva, detta radice principale.
Per semplificare √x, scomponi x in fattori primi e porta fuori dalla radice ogni coppia di primi uguali. Per 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, le coppie 2 × 2 e 3 × 3 escono come 2 e 3, e un 2 resta dentro: √72 = 2 × 3 × √2 = 6√2. Quando dentro non resta nessuna coppia, la radice è nella forma più semplice.
Per una frazione si prende la radice del numeratore e del denominatore: √(9/16) = 3/4. Se il denominatore non è un quadrato perfetto, si moltiplicano sopra e sotto per la sua radice, così sotto non resta una radice: √(8/3) = 2√6/3. Un numero negativo non ha radice quadrata reale, perché il quadrato di un numero reale è sempre 0 o più. Le sue radici sono immaginarie: √−12 = 2i√3, con i² = −1.
Avvertenza legale: Questo calcolatore esegue operazioni matematiche standard solo per uso generale ed educativo. Non sostituisce una verifica professionale — per calcoli in cui la precisione è fondamentale, come dichiarazioni finanziarie, lavori di ingegneria o consegne accademiche, verifica il risultato in modo indipendente.
Domande frequenti
Informazioni su questa calcolatrice
Questo calcolatore di radice quadrata dà la radice di qualsiasi numero in due modi: la forma esatta semplificata, come √72 = 6√2, e un valore decimale con fino a 100 cifre decimali. Funziona anche con frazioni (√(8/3) = 2√6/3), decimali (√0,25 = 1/2) e numeri negativi (√−12 = 2i√3). Per ogni risultato mostra i passaggi, le due radici quadrate, se il numero è un quadrato perfetto, i quadrati perfetti vicini e una verifica elevando il risultato al quadrato.
Che cos'è una radice quadrata?
La radice quadrata di un numero x è il numero che, moltiplicato per sé stesso, dà x. √49 = 7 perché 7 × 7 = 49. Ogni numero positivo ha due radici quadrate, una positiva e una negativa (7 e −7). Il simbolo √ indica sempre quella positiva, detta radice principale. Un quadrato perfetto è un numero intero la cui radice è anch'essa intera, come 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 e 144.
Come funziona il calcolatore
Forma semplificata. Il calcolatore scompone il numero in fattori primi e porta fuori dalla radice ogni coppia di primi uguali. 72 = 2³ × 3², quindi le coppie 2 × 2 e 3 × 3 escono come 2 e 3, e un 2 resta dentro: √72 = 2 × 3 × √2 = 6√2. Una radice è nella forma più semplice quando nessun quadrato (tranne 1) divide il numero sotto radice.
Frazioni e decimali. Prima il decimale viene scritto come frazione (2,25 = 9/4). Poi √(a/b) = √a / √b. Se il denominatore non è un quadrato perfetto, il calcolatore moltiplica sopra e sotto per la sua radice, così al denominatore non resta una radice. Si chiama razionalizzazione: √(8/3) = √8 / √3 = 2√2 / √3 = 2√6/3.
Numeri negativi. Nessun numero reale al quadrato dà un numero negativo, quindi un numero negativo non ha radice quadrata reale. Le sue radici sono numeri immaginari. Il calcolatore porta fuori √−1 = i: √−12 = i × √12 = 2i√3, perché (2i√3)² = 4 × i² × 3 = −12.
Alta precisione. Il valore decimale non viene calcolato con i normali numeri in virgola mobile, che conservano solo circa 16 cifre. Il calcolatore trova la radice intera di x × 10²ᵈ con aritmetica intera esatta, quindi ognuna delle fino a 100 cifre decimali è corretta, e l'ultima è arrotondata. Per esempio, √2 = 1,4142135624 con 10 decimali.
Esempi
- √72: 72 = 2³ × 3², quindi √72 = 6√2 ≈ 8,485281374. Verifica: (6√2)² = 36 × 2 = 72. È compresa tra 8 e 9, perché 64 < 72 < 81.
- √2025: 2025 = 3⁴ × 5², quindi √2025 = 3² × 5 = 45. È un quadrato perfetto.
- √(8/3): = 2√6/3 ≈ 1,632993. Verifica: (2√6/3)² = 4 × 6 / 9 = 8/3.
- √0,25: 0,25 = 1/4, quindi √0,25 = 1/2 = 0,5.
- √−12: = 2i√3 ≈ 3,464102i. Le due radici quadrate sono ±2i√3.
Il metodo babilonese
Calcolatrici e computer trovano le radici quadrate con un metodo di circa 4.000 anni fa. Si parte da una stima g, la si sostituisce con la media tra g e x/g, e si ripete. Per √72, partendo da g = 8, le stime successive sono (8 + 72/8) / 2 = 8,5, poi 8,485294 e poi 8,4852813742. Dopo 4 passaggi sono corrette le circa 16 cifre che un computer conserva di solito. Il calcolatore mostra questa tabella per ogni numero che non è un quadrato perfetto, così puoi vedere quanto in fretta le stime si avvicinano.
Le radici quadrate nella vita di tutti i giorni
- Dall'area al lato: una stanza quadrata di 50 m² ha lati di √50 = 5√2 ≈ 7,07 m.
- Diagonali: per il teorema di Pitagora, la diagonale di una porta larga 0,9 m e alta 2,0 m è √(0,9² + 2,0²) = √4,81 ≈ 2,19 m. Così sai se un tavolo lungo passa inclinato.
- Caduta degli oggetti: un oggetto lasciato cadere da 20 m impiega t = √(2h/g) = √(2 × 20 / 9,81) ≈ 2,02 secondi per toccare terra.
- Statistica: la deviazione standard è la radice quadrata della varianza. Una varianza di 16 dà una deviazione standard di √16 = 4.
Questo strumento serve solo per le radici quadrate. Per le radici cubiche e le altre radici, come ∛27 o la radice quarta di 81, usa il calcolatore di radici nella categoria Matematica.
- Forma semplificata — Dà il risultato esatto nella forma più semplice, come √72 = 6√2 o √(8/3) = 2√6/3, con i passaggi della scomposizione in fattori primi.
- Fino a 100 decimali — Calcola il valore decimale con aritmetica intera esatta, così tutte le 10, 20, 50 o 100 cifre sono corrette.
- Frazioni, decimali e negativi — Accetta valori come 8/3, 0,25 o −12, e dà radici immaginarie (come 2i√3) per i numeri negativi.
- Verifica del quadrato perfetto — Indica se il numero è un quadrato perfetto e mostra i quadrati perfetti vicini, come 8 < √72 < 9.
- Tabella del metodo babilonese — Mostra passo per passo come il metodo classico di stima e media si avvicina alla radice quadrata.