Calcolatore di potenze
Calcola qualsiasi potenza bⁿ, anche con esponenti negativi, decimali e frazionari. Ottieni il risultato esatto, fino a 100 cifre significative e i passaggi, oppure trova la base o l'esponente.
Proprietà delle potenze
| Proprietà | Formula | Esempio |
|---|---|---|
| Prodotto con la stessa base | bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Quoziente con la stessa base | bᵐ / bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25 |
| Potenza di potenza | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Potenza di un prodotto | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1000 |
| Potenza di una frazione | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
| Esponente zero | b⁰ = 1 (b ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| Esponente negativo | b⁻ⁿ = 1/bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Esponente frazionario | bp/q = q√(bᵖ) | 82/3 = ∛(8²) = 4 |
In bⁿ la base b viene moltiplicata per sé stessa n volte: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Le proprietà qui sopra estendono l'idea a n = 0, agli n negativi e alle frazioni, così che bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ resti vera per ogni esponente. Per esponenti irrazionali come 2^√2 si definisce bⁿ = e^(n · ln b).
Primo: −3² = −9, ma (−3)² = 9. L'esponente ha la precedenza sul segno meno e, senza parentesi, vale solo per il 3. Secondo: una torre di potenze si legge dall'alto in basso: 2^3^2 = 2^(3²) = 2⁹ = 512, non (2³)² = 64.
(−8)^(1/3) = −2 perché (−2)³ = −8: le radici dispari dei numeri negativi sono reali. Le radici pari no: (−4)^(1/2) non ha un valore reale. Riduci sempre prima la frazione, perché (−8)^(2/6) e (−8)^(1/3) sono lo stesso numero, −2, anche se 6 è pari.
Avvertenza legale: Questo calcolatore esegue operazioni matematiche standard solo per uso generale ed educativo. Non sostituisce una verifica professionale — per calcoli in cui la precisione è fondamentale, come dichiarazioni finanziarie, lavori di ingegneria o consegne accademiche, verifica il risultato in modo indipendente.
Domande frequenti
Informazioni su questa calcolatrice
Questo calcolatore di potenze risolve bⁿ = x rispetto a una qualsiasi delle sue tre parti. Nella modalità Potenza eleva una base b a un esponente n. Le altre due modalità trovano la base (una radice n-esima) o l'esponente (un logaritmo). Base ed esponente possono essere interi, decimali, frazioni o numeri negativi. Ottieni il risultato esatto quando esiste, come 2¹⁰⁰ per intero, 8^(2/3) = 4 o 12^(3/2) = 24√3, un valore decimale fino a 100 cifre significative e i passaggi.
Che cosa significa un esponente
Per un numero intero n, bⁿ è il prodotto di n fattori b: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Il numero b è la base e n è l'esponente. Tutti gli altri casi seguono da una sola regola, bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ. Se questa regola deve valere per n = 0, allora b⁰ = 1. Per un esponente negativo dà b⁻ⁿ = 1/bⁿ. Per le frazioni, (b^(1/q))^q = b, quindi b^(1/q) è la radice q-esima di b, e b^(p/q) è la radice q-esima di bᵖ. Per un esponente irrazionale come π si definisce bⁿ = e^(n · ln b) quando b > 0.
Come funziona il calcolatore
Esponenti interi. I risultati fino a 20.000 cifre sono calcolati in modo esatto con l'aritmetica intera, quindi 2¹⁰⁰ = 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376 viene mostrato per intero. Il calcolatore usa quadrati successivi: poiché 100 = 64 + 32 + 4, 2¹⁰⁰ = 2⁶⁴ × 2³² × 2⁴, e servono solo 8 moltiplicazioni invece di 99. I risultati più grandi, come 2^1.000.000, sono mostrati in notazione scientifica insieme al numero di cifre e alle ultime 20 cifre esatte, ottenute calcolando modulo 10²⁰.
Esponenti frazionari e decimali. Un esponente decimale viene prima scritto come frazione ridotta ai minimi termini, quindi 1,5 = 3/2. Poi b^(p/q) è la radice q-esima di bᵖ, e il calcolatore semplifica la radice portando fuori le potenze q-esime esatte: 12^(3/2) = √1728 = 24√3, perché 1728 = 24² × 3. Il valore decimale viene da e^(n · ln b). Il logaritmo e l'esponenziale sono calcolati con cifre di guardia in più rispetto alla precisione scelta, e l'ultima cifra mostrata è arrotondata.
Basi negative. (−2)⁴ = 16 e (−2)³ = −8: un esponente pari toglie il segno meno e uno dispari lo mantiene. Per gli esponenti frazionari, il calcolatore segue la convenzione della radice reale dei libri di algebra. Se la frazione ridotta ha denominatore dispari, la radice è reale: (−8)^(1/3) = −2 e (−8)^(2/3) = 4. Se il denominatore è pari, non c'è un risultato reale, e il calcolatore dà il valore complesso principale: (−4)^(1/2) = 2i.
Trovare la base o l'esponente. Per risolvere bⁿ = x rispetto a b, si elevano entrambi i membri a 1/n: b = x^(1/n). Un esponente pari dà due soluzioni reali, come b = ±3 per b⁴ = 81. Per trovare n si prendono i logaritmi: n = ln x / ln b. Quando n è una frazione, il calcolatore la trova in modo esatto e la verifica con l'aritmetica intera. Per esempio, log₈ 4 = 2/3 perché 8^(2/3) = 4. Altrimenti dà n con il numero di cifre significative scelto, per esempio log₂ 10 ≈ 3,32192809488736.
Esempi svolti
- 2¹⁰ = 1.024: dieci fattori 2. Per questo un kibibyte vale 1.024 byte.
- 5⁻³ = 1/125 = 0,008: un esponente negativo dà il reciproco.
- 27^(2/3) = 9: la radice cubica di 27 è 3, e 3² = 9.
- 2^0,5 = √2 ≈ 1,41421356237310: un esponente 1/2 è una radice quadrata.
- 1,05¹⁰ ≈ 1,62889462677744: una somma che cresce del 5% all'anno per 10 anni cresce in totale di circa il 62,9%.
- b³ = −125 dà b = −5, e 2ⁿ = 1.000.000 dà n ≈ 19,9315685693242.
Dove si usano gli esponenti
- Interesse composto: una somma P a un tasso annuo r diventa P(1 + r)ᵗ dopo t anni.
- Notazione scientifica: i numeri molto grandi e molto piccoli si scrivono con potenze di 10, come 6,022 × 10²³ per il numero di Avogadro.
- Informatica: n bit possono memorizzare 2ⁿ valori diversi, quindi 32 bit danno 2³² = 4.294.967.296.
- Crescita e decadimento: una popolazione che raddoppia a ogni periodo cresce come 2ᵗ, e un campione radioattivo conserva (1/2)^(t/h) della sua massa dopo un tempo t, dove h è il tempo di dimezzamento.
Per le sole radici, il Calcolatore di radice quadrata e il Calcolatore di radici di questa categoria danno più dettagli su come semplificare i radicali.
- Risolvi rispetto a qualsiasi parte — Risolve bⁿ = x rispetto alla potenza, alla base o all'esponente.
- Risultati esatti — Mostra per intero i risultati interi fino a 20.000 cifre, le frazioni come 1/125 e le radici semplificate come 24√3.
- Fino a 100 cifre significative — Calcola i valori decimali con aritmetica intera ad alta precisione, quindi anche 1,0001¹⁰⁰⁰⁰ è corretto in ogni cifra mostrata.
- Basi negative ed esponenti frazionari — Usa la radice reale per i denominatori dispari, come (−8)^(1/3) = −2, e dà il valore complesso principale quando non esiste un risultato reale.
- Passaggi dettagliati — Mostra le proprietà delle potenze usate, dai quadrati successivi alla scrittura di 1,5 come 3/2.