Calculatrice de racine carrée
Trouvez la racine carrée de tout nombre, fraction ou nombre négatif. Forme simplifiée comme 6√2, jusqu'à 100 décimales, avec les étapes.
Comment fonctionnent les racines carrées
La racine carrée de x est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne x. √49 = 7 car 7 × 7 = 49. Tout nombre positif a deux racines carrées, une positive et une négative (7 et −7), mais le symbole √ désigne la positive, appelée racine principale.
Pour simplifier √x, on décompose x en facteurs premiers et on sort de la racine chaque paire de facteurs égaux. Pour 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, les paires 2 × 2 et 3 × 3 sortent en 2 et 3, et un 2 reste dans la racine : √72 = 2 × 3 × √2 = 6√2. Quand il ne reste plus de paire, la racine est sous sa forme la plus simple.
Pour une fraction, on prend la racine du haut et du bas : √(9/16) = 3/4. Si le bas n'est pas un carré parfait, on multiplie le haut et le bas par sa racine pour qu'il n'y ait plus de racine sous la barre : √(8/3) = 2√6/3. Un nombre négatif n'a pas de racine carrée réelle, car le carré d'un réel est toujours positif ou nul. Ses racines sont imaginaires : √−12 = 2i√3, avec i² = −1.
Avertissement: Cette calculatrice effectue des opérations mathématiques standard à usage général et éducatif uniquement. Elle ne remplace pas une vérification professionnelle — pour les calculs où la précision est essentielle, comme les déclarations financières, les travaux d'ingénierie ou les remises académiques, veuillez vérifier le résultat de manière indépendante.
Questions fréquemment posées
À propos de cette calculatrice
Cette calculatrice de racine carrée donne la racine de tout nombre de deux façons : sous forme exacte simplifiée, par exemple √72 = 6√2, et sous forme décimale avec jusqu'à 100 décimales. Elle fonctionne aussi avec les fractions (√(8/3) = 2√6/3), les décimaux (√0,25 = 1/2) et les nombres négatifs (√−12 = 2i√3). Pour chaque réponse, elle affiche les étapes, les deux racines carrées, si le nombre est un carré parfait, les carrés parfaits qui l'encadrent et une vérification en élevant le résultat au carré.
Qu'est-ce qu'une racine carrée ?
La racine carrée d'un nombre x est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne x. √49 = 7 car 7 × 7 = 49. Tout nombre positif a deux racines carrées, une positive et une négative (7 et −7). Le symbole √ désigne toujours la positive, appelée racine carrée principale. Un carré parfait est un nombre entier dont la racine est aussi un entier, comme 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 et 144.
Comment fonctionne la calculatrice
Forme simplifiée. La calculatrice décompose le nombre en facteurs premiers et sort de la racine chaque paire de facteurs égaux. 72 = 2³ × 3², donc les paires 2 × 2 et 3 × 3 sortent en 2 et 3, et un 2 reste dans la racine : √72 = 2 × 3 × √2 = 6√2. Une racine est sous sa forme la plus simple quand aucun carré (sauf 1) ne divise le nombre sous la racine.
Fractions et décimaux. Un décimal est d'abord écrit en fraction (2,25 = 9/4). Ensuite, √(a/b) = √a / √b. Si le dénominateur n'est pas un carré parfait, la calculatrice multiplie le haut et le bas par sa racine pour qu'il ne reste pas de racine au dénominateur. On appelle cela rendre le dénominateur rationnel : √(8/3) = √8 / √3 = 2√2 / √3 = 2√6/3.
Nombres négatifs. Aucun nombre réel élevé au carré ne donne un nombre négatif, donc un nombre négatif n'a pas de racine carrée réelle. Ses racines sont des nombres imaginaires. La calculatrice sort √−1 = i : √−12 = i × √12 = 2i√3, car (2i√3)² = 4 × i² × 3 = −12.
Grande précision. La valeur décimale n'est pas calculée avec des nombres à virgule flottante ordinaires, qui ne gardent qu'environ 16 chiffres. La calculatrice cherche la racine entière de x × 10²ᵈ avec une arithmétique entière exacte : chacune des 100 décimales possibles est juste, et la dernière est arrondie. Par exemple, √2 = 1,4142135624 à 10 décimales.
Exemples
- √72 : 72 = 2³ × 3², donc √72 = 6√2 ≈ 8,485281374. Vérification : (6√2)² = 36 × 2 = 72. Elle est comprise entre 8 et 9, car 64 < 72 < 81.
- √2025 : 2025 = 3⁴ × 5², donc √2025 = 3² × 5 = 45. C'est un carré parfait.
- √(8/3) : = 2√6/3 ≈ 1,632993. Vérification : (2√6/3)² = 4 × 6 / 9 = 8/3.
- √0,25 : 0,25 = 1/4, donc √0,25 = 1/2 = 0,5.
- √−12 : = 2i√3 ≈ 3,464102i. Les deux racines carrées sont ±2i√3.
La méthode de Héron (méthode babylonienne)
Les calculatrices et les ordinateurs trouvent les racines carrées avec une méthode vieille d'environ 4 000 ans. On part d'une estimation g, on la remplace par la moyenne de g et de x/g, puis on recommence. Pour √72, en partant de g = 8, les estimations suivantes sont (8 + 72/8) / 2 = 8,5, puis 8,485294, puis 8,4852813742. Après 4 étapes, les 16 chiffres environ qu'un ordinateur garde d'habitude sont justes. La calculatrice affiche ce tableau pour tout nombre qui n'est pas un carré parfait, pour que vous voyiez à quelle vitesse les estimations se rapprochent.
Les racines carrées au quotidien
- De l'aire au côté : une pièce carrée de 50 m² a des côtés de √50 = 5√2 ≈ 7,07 m.
- Diagonales : d'après le théorème de Pythagore, la diagonale d'une porte de 0,9 m de large et 2,0 m de haut vaut √(0,9² + 2,0²) = √4,81 ≈ 2,19 m. Cela vous dit si une longue table peut passer en biais.
- Chute des objets : un objet lâché de 20 m met t = √(2h/g) = √(2 × 20 / 9,81) ≈ 2,02 secondes pour toucher le sol.
- Statistiques : l'écart type est la racine carrée de la variance. Une variance de 16 donne un écart type de √16 = 4.
Cet outil sert uniquement aux racines carrées. Pour les racines cubiques et les autres racines, comme ∛27 ou la racine 4e de 81, utilisez la calculatrice de racines de la catégorie Mathématiques.
- Forme simplifiée — Donne la réponse exacte sous sa forme la plus simple, comme √72 = 6√2 ou √(8/3) = 2√6/3, avec les étapes de la décomposition.
- Jusqu'à 100 décimales — Calcule la valeur décimale avec une arithmétique entière exacte, pour que les 10, 20, 50 ou 100 décimales soient justes.
- Fractions, décimaux et négatifs — Accepte des valeurs comme 8/3, 0,25 ou −12, et donne des racines imaginaires (comme 2i√3) pour les nombres négatifs.
- Test de carré parfait — Indique si le nombre est un carré parfait et affiche les carrés parfaits qui l'encadrent, comme 8 < √72 < 9.
- Tableau de la méthode de Héron — Montre étape par étape comment la méthode classique d'estimation et de moyenne se rapproche de la racine carrée.