Résolution d'équations du second degré
Résolvez ax² + bx + c = 0 étape par étape. Racines exactes et décimales, y compris complexes, avec discriminant, sommet, forme factorisée et courbe.
Comment résoudre une équation du second degré
Une équation du second degré s'écrit ax² + bx + c = 0, avec a différent de 0. Ses solutions sont x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Le ± donne deux réponses : une avec + et une avec −. Par exemple, x² − 5x + 6 = 0 a pour coefficients a = 1, b = −5, c = 6, donc x = (5 ± √1) / 2, soit x = 3 et x = 2.
La partie sous la racine, Δ = b² − 4ac, indique d'avance le type de racines. Si Δ > 0, il y a deux racines réelles et la parabole coupe l'axe des x deux fois. Si Δ = 0, il y a une racine double et la parabole touche l'axe des x en son sommet. Si Δ < 0, il n'y a pas de racine réelle : les racines sont des nombres complexes et la parabole ne coupe jamais l'axe des x.
La courbe de y = ax² + bx + c est une parabole. Son sommet est en x = −b / (2a), et la valeur de y en ce point est c − b² / (4a). La même équation s'écrit sous forme canonique a(x − h)² + k ou, si les racines sont r₁ et r₂, sous forme factorisée a(x − r₁)(x − r₂). La somme des racines vaut toujours −b/a et leur produit c/a.
Avertissement: Cette calculatrice effectue des opérations mathématiques standard à usage général et éducatif uniquement. Elle ne remplace pas une vérification professionnelle — pour les calculs où la précision est essentielle, comme les déclarations financières, les travaux d'ingénierie ou les remises académiques, veuillez vérifier le résultat de manière indépendante.
Questions fréquemment posées
À propos de cette calculatrice
Cet outil résout toute équation du second degré de la forme ax² + bx + c = 0. Saisissez a, b et c sous forme d'entiers, de décimaux ou de fractions. Vous obtenez les racines sous forme exacte (comme 3 ± 2√3 ou −1 ± 2i) et décimale, le discriminant, le sommet, la forme factorisée et la forme canonique, la solution étape par étape et la courbe de la parabole avec les racines et le sommet.
Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?
Une équation du second degré est une équation où la plus haute puissance de x est 2 : ax² + bx + c = 0, avec a différent de 0. Les nombres a, b et c sont les coefficients, et les solutions s'appellent les racines. Une telle équation a toujours exactement deux racines si l'on compte deux fois une racine double et si l'on accepte les nombres complexes. Sa courbe, y = ax² + bx + c, est une parabole en forme de U. Les racines réelles sont les points où la parabole coupe l'axe des x.
Trois méthodes de résolution
- Factoriser : écrire le membre de gauche comme un produit, par exemple x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Un produit est nul seulement si l'un des facteurs est nul, donc x = 2 ou x = 3. C'est rapide, mais simple seulement quand les racines sont des nombres ronds.
- Forme canonique : réécrire l'équation sous la forme a(x − h)² + k = 0, puis résoudre (x − h)² = −k/a. C'est ainsi qu'on démontre la formule, et on obtient le sommet (h, k) en même temps.
- La formule du discriminant : x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Elle fonctionne pour toute équation du second degré, même avec des racines irrationnelles ou complexes. Cet outil l'utilise et montre chaque étape.
Comment fonctionne l'outil
D'abord le discriminant. L'outil calcule Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, il y a deux racines réelles distinctes ; si Δ = 0, une racine double ; si Δ < 0, les racines sont complexes : x = −b/(2a) ± (√|Δ| / (2a))i.
Résultats exacts. Si a, b et c sont des entiers, des décimaux ou des fractions, l'outil les multiplie par un même nombre pour les rendre entiers, ce qui ne change pas les racines. Il simplifie ensuite la racine carrée, par exemple √48 = 4√3, et réduit la fraction. Ainsi −0,5x² + 3x + 1,5 = 0 donne les racines exactes 3 ± 2√3, et pas seulement 6,464102 et −0,464102.
Décimaux précis. La formule des manuels peut perdre presque toute sa précision quand b² est beaucoup plus grand que 4ac, car elle soustrait deux nombres presque égaux. L'outil utilise une forme stable : il calcule q = −(b ± √Δ)/2 avec le signe de b, puis x₁ = q/a et x₂ = c/q. Pour x² + 100 000 000x + 1 = 0, il trouve correctement la petite racine −0,00000001, alors que la formule simple donne 0.
Cas particuliers. Si a = 0, l'équation est du premier degré (bx + c = 0) : l'outil le signale et la résout. Si a = b = 0, l'équation n'a aucune solution ou tout x est solution.
Exemples
- x² − 5x + 6 = 0 : Δ = 25 − 24 = 1, donc x = (5 ± 1)/2, soit x = 2 et x = 3. Forme factorisée : (x − 2)(x − 3).
- 2x² − 7x + 3 = 0 : Δ = 49 − 24 = 25, donc x = (7 ± 5)/4, soit x = 1/2 et x = 3. Forme factorisée : (2x − 1)(x − 3).
- x² − 2x + 1 = 0 : Δ = 4 − 4 = 0, il y a donc une racine double, x = 1. La parabole touche l'axe des x en son sommet (1, 0).
- x² + 2x + 5 = 0 : Δ = 4 − 20 = −16, donc pas de racine réelle. Les racines sont x = −1 ± 2i, et la parabole reste au-dessus de l'axe des x, avec son point le plus bas en (−1, 4).
- x² − x − 1 = 0 : Δ = 5, donc x = (1 ± √5)/2. La racine positive, 1,618034, est le nombre d'or.
Le second degré dans la vie réelle
- Lancer d'un objet : une balle lancée vers le haut à 20 m/s depuis 1,5 m de hauteur est à h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5 mètres après t secondes. Résoudre h(t) = 0 donne t ≈ 4,16 s, le moment où elle touche le sol (l'autre racine, environ −0,07 s, n'a pas de sens ici). Le sommet donne la hauteur maximale : environ 21,9 m après 2,04 s.
- Aire : un jardin est 3 m plus long que large et mesure 40 m². Si la largeur est x, alors x(x + 3) = 40, donc x² + 3x − 40 = 0. Les racines sont 5 et −8 ; une largeur ne peut pas être négative, donc le jardin mesure 5 m sur 8 m.
- Bénéfice : si le bénéfice est P(x) = −2x² + 120x − 1 000 pour x articles, les seuils de rentabilité sont les racines, x = 10 et x = 50. Le sommet montre que le bénéfice est maximal pour x = 30, avec P = 800.
- Ingénierie et physique : distances de freinage, équations des lentilles et des miroirs, et circuits électriques mènent souvent à des équations du second degré.
- Racines exactes et décimales — Affiche les racines sous forme de fractions, de racines carrées simplifiées ou de nombres complexes (par exemple (−1 ± √19)/3 ou −1 ± 2i), avec leurs valeurs décimales.
- Discriminant et type de racines — Calcule b² − 4ac et explique s'il y a deux racines réelles, une racine double ou deux racines complexes.
- Solution étape par étape — Montre chaque étape de la formule avec vos nombres.
- Sommet et différentes formes — Donne le sommet, l'axe de symétrie, l'ordonnée à l'origine, la forme factorisée, la forme canonique, ainsi que la somme et le produit des racines.
- Courbe interactive — Trace la parabole avec les racines et le sommet. Survolez la courbe pour lire n'importe quel point.