Résolution d'équations linéaires
Résolvez des équations linéaires et simplifiez des expressions linéaires. Résolvez des systèmes d'équations par Gauss-Jordan, par substitution ou par la règle de Cramer, ainsi que des systèmes différentiels linéaires x′ = Ax. Fractions exactes et étapes complètes.
Les mathématiques du solveur
Une équation linéaire à une inconnue peut toujours s'écrire ax = b. Si a ≠ 0, la seule solution est x = b/a. Si a = 0, l'équation devient 0 = b. Elle est vraie pour tout x si b = 0 (une identité) et pour aucun x si b ≠ 0 (une contradiction). Le solveur calcule avec des fractions exactes, donc 1/3 reste 1/3 et n'est jamais arrondi à 0,333333.
Écrivez le système sous la forme Ax = b. La méthode de Gauss-Jordan utilise trois opérations sur les lignes : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre non nul, et ajouter à une ligne un multiple d'une autre. Aucune ne change l'ensemble des solutions. D'après le théorème de Rouché-Capelli, le système a une solution si et seulement si rg(A) = rg([A | b]), et la solution est unique si et seulement si ce rang est égal au nombre d'inconnues. La substitution et la règle de Cramer, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), donnent le même résultat quand A est carrée et det(A) ≠ 0.
Pour X′ = AX avec une matrice constante A de taille 2 × 2, on cherche X = e^(λt)v. Cela marche si et seulement si Av = λv, donc λ doit être racine de λ² − (trace A)λ + det A = 0. Deux valeurs propres réelles distinctes donnent c₁e^(λ₁t)v₁ + c₂e^(λ₂t)v₂. Des valeurs propres complexes α ± βi donnent des solutions avec e^(αt)cos βt et e^(αt)sin βt. Une valeur propre double avec un seul vecteur propre ajoute un terme en t·e^(λt). Les signes de la trace, du déterminant et du discriminant indiquent si l'origine est un nœud, un col, un foyer ou un centre.
Avertissement: Cette calculatrice effectue des opérations mathématiques standard à usage général et éducatif uniquement. Elle ne remplace pas une vérification professionnelle — pour les calculs où la précision est essentielle, comme les déclarations financières, les travaux d'ingénierie ou les remises académiques, veuillez vérifier le résultat de manière indépendante.
Questions fréquemment posées
À propos de cette calculatrice
Ce solveur d'équations linéaires traite trois types de problèmes. Il résout une équation linéaire, ou exprime une inconnue choisie en fonction des autres, et il simplifie les expressions linéaires. Il résout des systèmes d'équations linéaires jusqu'à 8 équations et 8 inconnues, par la méthode de Gauss-Jordan, par substitution ou par la règle de Cramer. Il donne aussi la solution d'un système différentiel linéaire x′ = Ax pour une matrice A de taille 2 × 2. Tous les calculs se font en fractions exactes, et chaque réponse est accompagnée de ses étapes.
Qu'est-ce qu'une équation linéaire ?
Une équation est linéaire si chaque inconnue apparaît seulement à la puissance 1 et n'est multipliée que par des nombres. Ainsi 3x + 2y = 7 et x/2 − 1 = 4(x + 3) sont linéaires, mais x² = 4, xy = 6 et 1/x = 2 ne le sont pas. Toute équation linéaire à n inconnues s'écrit a₁x₁ + a₂x₂ + … + aₙxₙ = b. Avec une inconnue, c'est ax = b. Avec deux inconnues, sa représentation graphique est une droite, d'où le nom.
Résoudre une équation linéaire
- Développer et réduire chaque membre.
- Passer les termes contenant l'inconnue d'un côté et les nombres de l'autre. Ajouter ou soustraire la même chose aux deux membres ne change pas les solutions.
- Diviser les deux membres par le coefficient de l'inconnue.
- Vérifier en remplaçant l'inconnue par la valeur trouvée dans l'équation de départ.
Par exemple, 3(x − 2) + 5 = 2x − 7 devient 3x − 1 = 2x − 7, donc x = −6. Vérification : 3(−6 − 2) + 5 = −19 et 2(−6) − 7 = −19.
Si l'inconnue disparaît, il reste deux cas. 2(x + 1) = 2x + 5 devient 2 = 5, ce qui n'est jamais vrai : il n'y a pas de solution. 2(x + 1) = 2x + 2 devient 2 = 2, ce qui est toujours vrai : tout nombre réel est solution.
Si vous tapez une expression sans signe =, par exemple 4(2a − 1) − 3(a + 2), le calculateur la simplifie en 5a − 10 et indique où elle vaut 0 (a = 2). Une équation à deux inconnues comme 2x + 3y = 12 peut être résolue pour l'une ou l'autre. Pour y, on obtient y = 4 − 2x/3 : une droite de pente −2/3 qui coupe l'axe des y en 4.
Systèmes d'équations linéaires
Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires qui doivent toutes être vraies en même temps. Une solution donne une valeur à chaque inconnue de sorte que chaque équation soit vérifiée. Il n'y a que trois cas possibles : une seule solution, aucune solution, ou une infinité de solutions. Avec deux inconnues, on le voit sur le graphique. Les deux droites se coupent en un point, sont parallèles, ou sont confondues.
Méthode de Gauss-Jordan
Le calculateur écrit le système sous forme de matrice augmentée [A | b] et applique des opérations sur les lignes jusqu'à obtenir la forme échelonnée réduite. Chaque étape est montrée avec la matrice obtenue. Les rangs déterminent ensuite le cas (théorème de Rouché-Capelli). Si rg(A) < rg([A | b]), une ligne donne 0 = c avec c ≠ 0 et il n'y a pas de solution. Si rg(A) = rg([A | b]) = n, le nombre d'inconnues, la solution est unique. Sinon, n − rg(A) inconnues sont libres et les autres s'expriment en fonction d'elles.
Substitution
On exprime une inconnue à partir d'une équation, on remplace dans les autres équations, et on recommence jusqu'à ce qu'il reste une seule inconnue. Ensuite on remonte. Le solveur choisit si possible une inconnue de coefficient 1 ou −1, car les fractions restent petites. Pour x + y = 10 et x − y = 2, la première équation donne x = 10 − y. Alors (10 − y) − y = 2, donc y = 4 et x = 6.
Règle de Cramer
Pour un système carré avec det(A) ≠ 0, chaque inconnue vaut xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), où Aᵢ est la matrice A dont la colonne i est remplacée par b. C'est une formule explicite, mais pour les grands systèmes elle demande beaucoup plus d'opérations que l'élimination. Elle est surtout utile pour les systèmes 2 × 2 et 3 × 3.
Systèmes différentiels linéaires
Le troisième onglet résout x′ = ax + by, y′ = cx + dy, noté X′ = AX, par la méthode des valeurs propres. Les valeurs propres sont les racines de l'équation caractéristique λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0.
- Deux valeurs propres réelles distinctes λ₁ et λ₂, de vecteurs propres v₁ et v₂, donnent X(t) = c₁e^(λ₁t)v₁ + c₂e^(λ₂t)v₂.
- Une valeur propre double λ avec un seul vecteur propre v donne X(t) = c₁e^(λt)v + c₂e^(λt)(tv + w), où (A − λI)w = v.
- Des valeurs propres complexes α ± βi, de vecteur propre p + iq, donnent X(t) = c₁e^(αt)(p cos βt − q sin βt) + c₂e^(αt)(p sin βt + q cos βt).
Si vous entrez x(0) et y(0), le calculateur trouve c₁ et c₂ et écrit x(t) et y(t). Il indique aussi le type de l'équilibre à l'origine (col, nœud, foyer ou centre) et trace un portrait de phase. Par exemple, A = [1 2; 2 1] a pour valeurs propres 3 et −1, de vecteurs propres (1, 1) et (1, −1). Avec x(0) = 1 et y(0) = 0, la solution est x(t) = (1/2)e^(3t) + (1/2)e^(−t) et y(t) = (1/2)e^(3t) − (1/2)e^(−t).
Où utilise-t-on les équations linéaires ?
- Prix et mélanges : 3 pommes et 2 poires coûtent 4,10, et 1 pomme et 4 poires coûtent 4,70. Le système 3a + 2p = 4,10, a + 4p = 4,70 donne p = 1,00 et a = 0,70.
- Seuil de rentabilité : avec des coûts de 500 + 12x et une recette de 32x, les deux sont égaux quand 20x = 500, soit pour x = 25 unités.
- Circuits électriques : les lois de Kirchhoff donnent une équation linéaire par maille et par nœud. En résolvant le système, on obtient les intensités.
- Évolutions couplées : deux cuves d'eau salée reliées, deux populations en interaction près de l'équilibre ou une masse au bout d'un ressort mènent toutes à un système X′ = AX.
- Fractions exactes — Tous les calculs sont exacts : une réponse comme x = 7/3 reste exacte, avec sa valeur décimale à côté.
- Trois méthodes pour les systèmes — Résout des systèmes jusqu'à 8 équations et 8 inconnues par Gauss-Jordan, par substitution ou par la règle de Cramer, en montrant chaque étape.
- Tous les cas — Trouve une solution unique, indique quand il n'y a pas de solution et donne la solution générale avec les inconnues libres quand il y en a une infinité. Les rangs sont aussi affichés.
- Expressions et droites — Simplifie les expressions linéaires, résout une équation pour n'importe quelle inconnue et donne la pente, l'ordonnée à l'origine et le graphique d'une équation à deux inconnues.
- Systèmes différentiels x′ = Ax — Donne les valeurs propres, les vecteurs propres, la solution générale, la solution pour des conditions initiales données, le type d'équilibre et un portrait de phase.