Résolution de systèmes d'équations
Résolvez des systèmes d'équations étape par étape par combinaison ou par substitution. Systèmes linéaires jusqu'à 6 inconnues et systèmes non linéaires avec x², y² et xy, avec solutions exactes, vérification et graphique.
Comment résoudre un système d'équations
On multiplie deux équations par des nombres choisis pour qu'une inconnue ait des coefficients opposés (ou égaux), puis on les additionne (ou on les soustrait). Cette inconnue disparaît. On recommence jusqu'à avoir une équation à une inconnue, on la résout et on remonte. Pour 5x + 3y = 7 et 3x − 5y = −23, 3·(1) − 5·(2) donne 34y = 136, donc y = 4, puis 3x − 20 = −23 donne x = −1.
On exprime une inconnue à partir d'une équation et on remplace dans les autres. C'est la méthode naturelle pour un système non linéaire quand une équation est linéaire : x + y = 7 donne y = 7 − x, et x² + y² = 25 devient x² + (7 − x)² = 25, une équation du second degré de racines x = 3 et x = 4.
Un système linéaire a une seule solution, aucune, ou une infinité. Deux équations de degrés m et n à deux inconnues ont au plus m·n solutions communes, sauf si elles ont un facteur commun (théorème de Bézout). Une droite et un cercle se coupent donc au plus deux fois, et deux coniques au plus quatre fois. Sur le graphique, chaque solution réelle est un point d'intersection des courbes.
Avertissement: Cette calculatrice effectue des opérations mathématiques standard à usage général et éducatif uniquement. Elle ne remplace pas une vérification professionnelle — pour les calculs où la précision est essentielle, comme les déclarations financières, les travaux d'ingénierie ou les remises académiques, veuillez vérifier le résultat de manière indépendante.
Questions fréquemment posées
À propos de cette calculatrice
Ce solveur de systèmes d'équations trouve les valeurs des inconnues qui rendent plusieurs équations vraies en même temps. Il résout les systèmes linéaires jusqu'à 6 équations et 6 inconnues, et les systèmes non linéaires de 2 équations à 2 inconnues avec des carrés et des produits comme x², y² et xy. Tapez les équations une par ligne ou séparées par des virgules, et choisissez la combinaison ou la substitution. Vous obtenez les solutions exactes, chaque étape, une vérification et un graphique des courbes avec les points d'intersection.
Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un système d'équations est formé de deux équations ou plus qui ont des inconnues communes et doivent être vraies en même temps. Une solution est un ensemble de valeurs, une par inconnue, qui vérifie chaque équation. Avec deux inconnues, chaque équation est une droite ou une courbe du plan, et les solutions sont exactement les points où toutes les courbes se rencontrent. Par exemple, x + y = 10 et x − y = 2 se coupent en (6, 4).
Méthode par combinaison
- Multiplier les équations par des entiers bien choisis pour qu'une inconnue ait le même coefficient dans deux d'entre elles.
- Soustraire (ou additionner) les équations pour éliminer cette inconnue.
- Recommencer jusqu'à avoir une équation à une inconnue, puis la résoudre.
- Remplacer la valeur trouvée pour obtenir les autres inconnues.
Exemple : 5x + 3y = 7 et 3x − 5y = −23. On multiplie la première équation par 3 et la seconde par 5, puis on soustrait : 34y = 136, donc y = 4. Ensuite 3x − 5·4 = −23 donne x = −1. Le solveur garde chaque nouvelle équation en nombres entiers et la numérote, pour que vous voyiez quelles équations ont été combinées.
Méthode par substitution
On exprime une inconnue à partir d'une équation, puis on remplace cette expression dans les autres équations. Chaque substitution élimine une inconnue. Pour x + 2y = 2x − 5 et x − y = 3, la seconde équation donne x = y + 3. En remplaçant dans la première, on obtient (y + 3) + 2y = 2(y + 3) − 5, donc y = −2 et x = 1.
Systèmes non linéaires
Quand une équation contient x², y², xy ou des puissances plus élevées, le système est non linéaire et peut avoir plusieurs solutions. Le solveur choisit la plus simple de trois méthodes et indique laquelle il a utilisée.
- Substitution : si une équation est linéaire en une inconnue, comme y = 2x − 1, on l'exprime et on la remplace dans l'autre équation. y = x² − 4 et y = 2x − 1 donnent x² − 2x − 3 = 0, donc x = 3 ou x = −1, et les solutions sont (3, 5) et (−1, −3).
- Élimination : si les termes en une inconnue sont les mêmes dans les deux équations, la soustraction ou l'addition l'élimine. Pour x² + y² = 13 et x² − y² = 5, l'addition donne 2x² = 18, donc x = ±3 et y = ±2 : quatre solutions.
- Résultant : dans les autres cas, le résultant des deux polynômes élimine une inconnue et laisse une équation polynomiale en l'autre inconnue.
Les solutions exactes sont gardées chaque fois que c'est possible. Pour x² + y = 5 et x² + y² = 7, les solutions sont x = ±√3, y = 2 et x = ±√6, y = −1. S'il n'y a pas de solution réelle, comme pour x² + y² = 4 et x + y = 5 (la droite ne touche pas le cercle), le solveur l'indique.
Combien de solutions peut-il y avoir ?
Un système linéaire a une seule solution, aucune, ou une infinité. Deux équations de degrés m et n à deux inconnues ont au plus m × n solutions communes, sauf si elles ont un facteur commun (théorème de Bézout). Une droite et une parabole se coupent donc au plus deux fois, et deux cercles ou deux autres coniques au plus quatre fois. Si une équation est un multiple de l'autre, ou si elles ont un facteur commun, il y a une infinité de solutions.
Où utilise-t-on les systèmes d'équations ?
- Prix : 2 cafés et 3 muffins coûtent 13, et 4 cafés et 1 muffin coûtent 11. Donc 2c + 3m = 13 et 4c + m = 11, ce qui donne c = 2 et m = 3.
- Géométrie : un rectangle de périmètre 34 et d'aire 60 a des côtés tels que x + y = 17 et xy = 60, donc les côtés mesurent 5 et 12.
- Sciences et ingénierie : les intensités dans un circuit électrique, les forces dans un treillis et l'équilibrage des équations chimiques mènent à des systèmes linéaires.
- Intersections : les points communs d'une droite et d'un cercle, ou de deux trajectoires courbes, sont les solutions d'un système non linéaire.
- Systèmes linéaires et non linéaires — Résout les systèmes linéaires jusqu'à 6 équations et 6 inconnues, et les systèmes non linéaires de 2 équations à 2 inconnues avec des termes comme x², y² et xy.
- Combinaison ou substitution — Vous choisissez la méthode. La combinaison associe les équations avec des multiplicateurs entiers et numérote chaque nouvelle équation. La substitution exprime une inconnue après l'autre.
- Solutions exactes — Les résultats sont donnés en entiers, en fractions ou en racines comme √3, avec leur valeur décimale à côté.
- Tous les cas — Indique quand un système n'a pas de solution, pas de solution réelle ou une infinité de solutions, et donne la solution générale en fonction des inconnues libres.
- Graphique et vérification — Trace chaque équation sous forme de droite ou de courbe avec les points d'intersection, et remplace chaque solution dans chaque équation.