Calculatrice d'exposants
Calculez toute puissance bⁿ, y compris avec des exposants négatifs, décimaux ou fractionnaires. Obtenez le résultat exact, jusqu'à 100 chiffres significatifs et les étapes, ou trouvez la base ou l'exposant.
Les règles des puissances
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de même base | bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Quotient de même base | bᵐ / bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25 |
| Puissance d'une puissance | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Puissance d'un produit | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1000 |
| Puissance d'une fraction | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
| Exposant nul | b⁰ = 1 (b ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| Exposant négatif | b⁻ⁿ = 1/bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Exposant fractionnaire | bp/q = q√(bᵖ) | 82/3 = ∛(8²) = 4 |
Dans bⁿ, la base b est multipliée par elle-même n fois : 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Les règles ci-dessus étendent cette idée à n = 0, aux n négatifs et aux fractions, pour que bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ reste vrai pour tout exposant. Pour un exposant irrationnel comme 2^√2, on définit bⁿ = e^(n · ln b).
D'abord, −3² = −9 mais (−3)² = 9 : l'exposant passe avant le signe moins et, sans parenthèses, ne porte que sur 3. Ensuite, une tour de puissances se lit de haut en bas : 2^3^2 = 2^(3²) = 2⁹ = 512, et non (2³)² = 64.
(−8)^(1/3) = −2 car (−2)³ = −8 : les racines impaires des nombres négatifs sont réelles. Les racines paires ne le sont pas : (−4)^(1/2) n'a pas de valeur réelle. Simplifiez toujours la fraction d'abord, car (−8)^(2/6) et (−8)^(1/3) sont le même nombre, −2, même si 6 est pair.
Avertissement: Cette calculatrice effectue des opérations mathématiques standard à usage général et éducatif uniquement. Elle ne remplace pas une vérification professionnelle — pour les calculs où la précision est essentielle, comme les déclarations financières, les travaux d'ingénierie ou les remises académiques, veuillez vérifier le résultat de manière indépendante.
Questions fréquemment posées
À propos de cette calculatrice
Cette calculatrice d'exposants résout bⁿ = x pour n'importe laquelle de ses trois parties. En mode Puissance, elle élève une base b à un exposant n. Les deux autres modes trouvent la base (une racine n-ième) ou l'exposant (un logarithme). La base et l'exposant peuvent être des entiers, des décimaux, des fractions ou des nombres négatifs. Vous obtenez le résultat exact quand il existe, par exemple 2¹⁰⁰ en entier, 8^(2/3) = 4 ou 12^(3/2) = 24√3, une valeur décimale jusqu'à 100 chiffres significatifs, et les étapes.
Ce que veut dire un exposant
Pour un entier n, bⁿ est le produit de n facteurs b : 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Le nombre b est la base et n est l'exposant, ou la puissance. Tous les autres cas viennent d'une seule règle, bᵐ · bⁿ = bᵐ⁺ⁿ. Si cette règle doit rester vraie pour n = 0, alors b⁰ = 1. Pour un exposant négatif, elle donne b⁻ⁿ = 1/bⁿ. Pour les fractions, (b^(1/q))^q = b, donc b^(1/q) est la racine q-ième de b, et b^(p/q) est la racine q-ième de bᵖ. Pour un exposant irrationnel comme π, on définit bⁿ = e^(n · ln b) lorsque b > 0.
Comment fonctionne la calculatrice
Exposants entiers. Les résultats jusqu'à 20 000 chiffres sont calculés exactement avec des entiers, donc 2¹⁰⁰ = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 s'affiche en entier. La calculatrice utilise des carrés successifs : comme 100 = 64 + 32 + 4, on a 2¹⁰⁰ = 2⁶⁴ × 2³² × 2⁴, ce qui demande 8 multiplications au lieu de 99. Les résultats plus grands, comme 2^1 000 000, sont affichés en notation scientifique, avec le nombre de chiffres et les 20 derniers chiffres exacts, obtenus en calculant modulo 10²⁰.
Exposants fractionnaires et décimaux. Un exposant décimal est d'abord écrit comme une fraction irréductible, donc 1,5 = 3/2. Ensuite b^(p/q) est la racine q-ième de bᵖ, et la calculatrice simplifie la racine en sortant les puissances q-ièmes exactes : 12^(3/2) = √1728 = 24√3, car 1728 = 24² × 3. La valeur décimale vient de e^(n · ln b). Le logarithme et l'exponentielle sont calculés avec des chiffres de garde en plus de la précision choisie, et le dernier chiffre affiché est arrondi.
Bases négatives. (−2)⁴ = 16 et (−2)³ = −8 : un exposant pair enlève le signe moins et un exposant impair le garde. Pour les exposants fractionnaires, la calculatrice suit la convention de la racine réelle des manuels d'algèbre. Si la fraction irréductible a un dénominateur impair, la racine est réelle : (−8)^(1/3) = −2 et (−8)^(2/3) = 4. Si le dénominateur est pair, il n'y a pas de résultat réel, et la calculatrice donne la valeur complexe principale : (−4)^(1/2) = 2i.
Trouver la base ou l'exposant. Pour résoudre bⁿ = x en b, on élève les deux membres à la puissance 1/n : b = x^(1/n). Un exposant pair donne deux solutions réelles, par exemple b = ±3 pour b⁴ = 81. Pour trouver n, on prend les logarithmes : n = ln x / ln b. Quand n est une fraction, la calculatrice la trouve exactement et la vérifie avec des entiers. Par exemple, log₈ 4 = 2/3 car 8^(2/3) = 4. Sinon, elle donne n avec le nombre de chiffres significatifs choisi, par exemple log₂ 10 ≈ 3,32192809488736.
Exemples
- 2¹⁰ = 1 024 : dix facteurs 2. C'est pourquoi un kibioctet vaut 1 024 octets.
- 5⁻³ = 1/125 = 0,008 : un exposant négatif donne l'inverse.
- 27^(2/3) = 9 : la racine cubique de 27 est 3, et 3² = 9.
- 2^0,5 = √2 ≈ 1,41421356237310 : un exposant 1/2 est une racine carrée.
- 1,05¹⁰ ≈ 1,62889462677744 : une somme qui augmente de 5 % par an pendant 10 ans augmente d'environ 62,9 % au total.
- b³ = −125 donne b = −5, et 2ⁿ = 1 000 000 donne n ≈ 19,9315685693242.
Où l'on utilise les exposants
- Intérêts composés : un montant P placé à un taux annuel r devient P(1 + r)ᵗ après t années.
- Notation scientifique : les très grands et très petits nombres s'écrivent avec des puissances de 10, comme 6,022 × 10²³ pour le nombre d'Avogadro.
- Informatique : n bits peuvent stocker 2ⁿ valeurs différentes, donc 32 bits donnent 2³² = 4 294 967 296.
- Croissance et décroissance : une population qui double à chaque période croît comme 2ᵗ, et un échantillon radioactif garde (1/2)^(t/h) de sa masse après un temps t, où h est la demi-vie.
Pour les racines seules, la Calculatrice de racine carrée et la Calculatrice de racines de cette catégorie donnent plus de détails sur la simplification des radicaux.
- Résoudre pour n'importe quelle partie — Résout bⁿ = x pour la puissance, la base ou l'exposant.
- Résultats exacts — Affiche les résultats entiers en entier jusqu'à 20 000 chiffres, les fractions comme 1/125 et les racines simplifiées comme 24√3.
- Jusqu'à 100 chiffres significatifs — Calcule les valeurs décimales en haute précision avec des entiers, donc même 1,0001¹⁰⁰⁰⁰ est juste pour chaque chiffre affiché.
- Bases négatives et exposants fractionnaires — Utilise la racine réelle pour les dénominateurs impairs, comme (−8)^(1/3) = −2, et donne la valeur complexe principale quand il n'existe pas de résultat réel.
- Étapes détaillées — Montre les règles des puissances utilisées, des carrés successifs à l'écriture de 1,5 sous la forme 3/2.